专题17空间向量与立体几何

专题1.7空间向量与立体几何（1）高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．主要有两种考查形式：①利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；②考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.（2）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．（3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则.（4）用向量解决探索性问题的方法：①确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．②确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．③解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于．（1）求证：平面；（2）若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值．条件①：，；条件②：平面平面；条件③：平面平面．【试题来源】江苏省扬州中学2022届高三下学期开学检测【答案】（1）证明见解析；（2）只有条件②符合，余弦值为．【解析】（1）在正方形中，，平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，平面，又平面，平面．，又，，所以四边形为等腰梯形，四边形为梯形；条件①：，，则平面，即平面，又平面，，此时四边形不为等腰梯形，故条件①不符合条件③：平面平面，且平面平面又，平面，平面，此时四边形不为等腰梯形，故条件③不符合；条件②：平面平面，；过点作于，过作于，连接，由平面平面，平面平面，平面又平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，因为平面，平面，平面平面，在四边形中，，，，所以，，在正方形中，，所以因为，且，所以，所以，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，令，则；设平面的一个法向量，由，令，则．设平面和平面的夹角为，根据图形可以看出二面角的大小是锐角，则．所以平面和平面的夹角的余弦值为．2．已知梯形ABCD如图（1）所示，其中AB//CD，∠BAD=90°，∠BCD=45°，CD=BC，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点．现将△DAM沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面PAM⊥平面AMC，得到的图形如图（2）所示．（1）求证：AP⊥PN；（2）求平面PAN与平面PCM所形成的锐二面角的余弦值．【试题来源】河南省顶级中学20212022学年高三上学期阶段性测试（一）【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）如图，在平面图形中，连接BD交AM于O，连接MN．因为，，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AB=CM．在△CBD中，由余弦定理，得BD2=CD2+CB22CD·CB·cos∠BCD=CB2，所以CB=BD，则CB2+BD2=CD2，故∠CBD=90°．则∠ABD=45°，则AB=AD=BD，故CM=DM．因为M，N分别为CD，BC的中点，所以，所以MN⊥AM．在立体图形中，连接MN，因为平面PAM⊥平面AMC，且平面PAM∩平面AMC=AM，MN平面ABCM，故MN⊥平面PAM．因为PA平面PAM，故AP⊥MN，又AP⊥MP，MN∩MP=M，故AP⊥平面PMN，在PN平面PNN，故AP⊥PN．（2）取AM的中点O，连接OB，OP，MN．由（1）可知，可以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．P（0，0，），A（，0，0），C（，，0），M（，0，0），N（，，0），，，设平面PCM的法向量为，则，即，令，得，，，设平面PAN的法向量为，则，即，令，得．设平面PAN与平面PCM所形成的锐二面角为θ，．即所求锐二面角的余弦值为．3．在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求二面角B−PC−D的正弦值．【试题来源】湖南省长沙市第一中学20212022学年高三上学期月考（五）【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）底面ABCD如下图：可以解得，，，在四棱锥中：，，所以平面PDC，又平面ABCD，所以平面平面PDC；（2）取CD的中点O如下图：连结，由于是等边三角形，所以，，平面；以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则令，得，易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，所以，二面角的正弦值为．4．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点D在线段上且，点E是线段的动点．（1）当点E在什么位置时，直线平面？（2）当直线平面时，求二面角的余弦值．【试题来源】四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测【答案】（1）当点E是线段上靠近点的三等分点时，（2）【解析】（1）当点E是线段上靠近点的三等分点时，平面．过点D作交于点F，过点F作交于点E，连接．因为平面，所以平面．因为平面，所以平面．又，则平面平面，因为平面，所以平面．而，所以当点E是线段上靠近点的三等分点时，直线平面．（2）以的中点O为原点建立如图所示空间直角坐标系，则．由，得，．设平面的一个法向量为．由得令，得，即．设二面角的平面角为，而面的一个法向量为，则．故二面角的余弦值为．5．如图所示，在四棱锥中，是面积为的等边三角形，，，二面角为直二面角．（1）若平面平面，求证：；（2）若点为线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的余弦值．【试题来源】华大新联盟20212022学年高三上学期1月教学质量测评【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）延长、交于点，连接，则即为平面与平面的交线．，，故在中，、分别为、的中点，故，所以，，，所以，，故，同理可得，，，故平面，因为平面，故，即，而，故．（2）取的中点，连接交于点，连接，，则，同理可得，故为等边三角形，为的中点，则，，则，，则为的中点，因为为等边三角形，为的中点，故，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知可得，可得，所以，、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，，则，因此，直线与平面所成角的余弦值为．6．如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，点S在平面ABCD内的射影O为线段AD的中点．（1）求证：平面平面SBC；（2）已知点E在线段SB上，，求二面角的余弦值．【试题来源】河南省许昌市20212022学年高三下学期高中毕业班（二模）阶段性测试（四）【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）如图，连接BD．在菱形ABCD中，，故为等边三角形．因为O为AD的中点，所以．因为，所以．由条件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，因为，OS，平面SOB，所以平面SOB．因为平面SBC，故平面平面SBC．（2）因为底面ABCD，，所以可以以为正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则．因为，，，，所以．由，得，设是平面OEC的法向量，由OE·m=0OC令，则，，则，因为平面BOE的一个法向量为，所以，故由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．7．如图所示，在三棱锥ABCD中，，，三棱锥EACD是正三棱锥，．（1）求证：平面BCD；（2）求直线BC与平面ADE所成角的正弦值【试题来源】河南省部分学校20212022学年高三上学期模拟调研考试（三）【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）取CD中点F，连接BF，EF，AF，因为，，，所以，，，因为，所以平面ABF，因为，所以平面AEF，所以平面ABF与平面AEF重合，A，B，F，E共面，因为，，，，所以，，所以四边形ABFE是平行四边形，，因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD；（2）取BF中点O，由（1）知平面ABF，且，所以平面BCD，以点O为坐标原点，过点O与CD平行的直线为x轴，直线OF，直线OA分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，，，，所以，，．设是平面ADE的一个法向量，则，即，取，得，设直线BC与平面ADE所成角为，则，所以直线BC与平面ADE所成角的正弦值为．8．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面ABCD，且．（1）若，试计算底面ABCD面积的最大值；（2）过棱PC的中点E作，交PB于点F，连DE，DF，BD．若平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为，试求的值．【试题来源】安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月第二次联考【答案】（1），（2）【解析】（1）设，，由已知可知，而底面ABCD的面积为xy．则由均值不等式，可知，当且仅当时等号成立．（2）如图，以点D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设，，则，，，，所以．由于E是PC的中点，则，故，于是，即．又已知，而，所以平面DEF，故是平面DEF的一个法向量．而因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．由已知平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为，则，解得，所以．故当平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为，9．如图，在四棱锥PABCD中，平面底面ABCD，平面底面ABCD，，，，，E是PD的中点．（1）求证：底面ABCD；（2）求二面角BACE的余弦值．【试题来源】河南省南阳市20212022学年高三上学期期末考试【答案】（1）证明过程见解析；（2）．【解析】（1）因为平面底面，平面底面，因为，，所以，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，所以底面．（2）由（1）知、、两两垂直，建系如图，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，1，，设是平面的法向量，，，

则有，令，所以，，，因为底面，所以，0，是平面的法向量，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．10．在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，E为PD的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【试题来源】重庆市长寿区2022届高三上学期期末【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）连接，交于点，连接，因为为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，设平面的法向量为，，，则，令，则，，所以，，，所以，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．11．如图，四棱锥的底面是正方形，，，，P为侧棱上的点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【试题来源】广东省信宜市第二中学2022届高三下学期开学热身【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为四边形是正方形，所以点是的中点，因为，所以，，所以平面；（2）因为四边形是正方形，，所以，由（1）知，如图以点为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为．12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，设过AD的平面与棱PB，PC分别交于点E，F．（1）求证：四边形AEFD为梯形；（2）若E为PB的中点，求平面ADE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．【试题来源】山东省大教育联盟学校20212022学年高三下学期收心考试（开学考试）【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面AEFD，平面平面，所以．又，所以四边形AEFD为梯形．（2）以D为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为E为PB的中点，所以F为PC的中点，则，，，，．设平面BDF的法向量为，则，即，取，则．设平面ADE的法向量为，则，即，取，则．设向量，的夹角为，则，故平面ADE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为．13．如图，在直三棱柱中，D、E分别是棱、上的点，，．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面ABC所成的角为45°，且，求二面角的正弦值．【试题来源】西南四省名校2022届高三上学期第二次大联考【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）取中点，AB中点O，连交于F，连，，则，因为，所以，所以是平行四边形，所以，因为，所以．又在直三棱柱中，平面，所以，结合，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，OC、OB、两两垂直，建立如图空间直角坐标系，取上一点M，使，连AM，则，又平面ABC，与平面ABC所成角为，所以，所以，不妨设，则，，，，所以，，，，，，，．设平面的一个法向量为，则，所以，取，得，平面的一个法向量，，所以二面角的平面角的正弦值为．14．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，，，，．（1）证明：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值．【试题来源】河南省2022届高三百校2月大联考【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）取AD的中点为M，连接EM，则，又，，故四边形AFEM为正方形，故，故，又，，故平面ECD，则．又，，故平面ADEF，则．又，，AD，平面ABCD，故平面ABCD．（2）连接BE，BD，以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），则，，，．设平面BED的一个法向量为．则即令，则．设平面CED的一个法向量为，则即令，则，，则，故二面角的正弦值为．15．如图，在三棱柱中，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．【试题来源】青铜鸣20212022学年高三上学期12月大联考【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）连接，由，可得，故，

故，故．

又，平面，所以平面，

又平面，所以，

又，所以．（2）设D为的中点，连接，由（1）可知，故．又，所以为等边三角形，故．又平面，所以平面，因为平面，故．又平面，所以平面，故，综上，两两垂直．

故以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，故，则，又．

设为平面的法向量，则，即，可取．

设为平面的法向量，则，即可取，

故．

因为所求二面角为钝角，故二面角的余弦值为．16．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．【试题来源】黑龙江省嫩江市第一中学等20212022学年高三上学期期末联考【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）取的中点M，连结，则，且，且．所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面平面，所以平面．（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以．因为，所以，所以．又，设平面的一个法向量，则，所以，令，则，所以；又平面的一个法向量，所以，即，解得，所以．又，所以，所以直线与平面所成角为．17．在平面α内的四边形ABCD（如图1），△ABC和△ACD均为等腰三角形，其中AC＝2，AB＝BC＝，AD＝CD＝，现将△ABC和△ACD均沿AC边向上折起（如图2），使得B，D两点到平面α的距离分别为1和2．（1）求证：BD⊥AC；（2）求二面角A−BD−C余弦值．【试题来源】河南省重点中学新课标卷20212022学年高三上学期调研考试【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）取的中点，连接，，，，，，又，平面，又平面，．（2）分别过，作平面的垂线，垂足分别为，，则，，三点共线，由（1）可知平面，，，，，，，，以为原点，以OA为x轴，以OE为y轴，过O点作EB的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，，，1，，，0，，，，，则，，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，平面的法向量为，，，则，，即，，令可得，1，，令可得，1，，，由图形可知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．18．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，，点E是棱AD上的一点，且，点F是棱PC上的一点，且．（1）求证：平面PEB；（2）求直线PC与平面PEB所成角的正弦值．【试题来源】江西省吉安市2022届高三上学期期末【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】（1）在棱PB上取一点G，使得，连接GF，GE，在中，，，所以，且．又，，所以，，所以四边形DEGF是平行四边形．所以，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）如图，以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设，易得．所以，，，，，所以，，．设平面PBE的一个法向量是，可得令，解得，，所以．设直线PC与平面PEB所成角为，所以，即直线PC与平面PEB所成角的正弦值是．19．在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦