第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）

计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考点分析】考点一：分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．考点二：分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．考点三：两个计数原理的区别和联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一针对的是“分类”问题针对的是“分布”问题区别二各种方法相互“独立”各个步骤中的方法互相“依存”区别三任何一种方法都可以做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事考点四：分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．考点五：分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．【题型目录】题型一：分类加法计数原理题型二:分步乘法计数原理题型三:两个原理的综合应用【典型例题】题型一：分类加法计数原理【例1】现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【例2】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个【例3】某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（

）A．32 B．34 C．36 D．38【例4】若、，，，且，则平面上的点共有（

）．A．21个 B．20个 C．28个 D．30个【例5】某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（

）A．27 B．24 C．18 D．16【例6】如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．【题型专练】1．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（

）A．16 B．15 C．12 D．83．某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.4．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.5.从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（

）A．7 B．9 C．10 D．136．已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．应用分类加法计数原理的关键：用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的．题型二:分步乘法计数原理【例1】仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A． B． C． D．【例2】洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【例3】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【例4】如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.【例5】乘积式展开后的项数是___________.【例6】从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答）【例7】正整数2160的不同正因数的个数为（

）．A．20 B．28 C．40 D．50【题型专练】1．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．2．（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．3.如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（

）ABCDEA．500种 B．520种 C．540种 D．560种4．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种5．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（

）．A．80种 B．120种 C．160种 D．240种6．核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（

）A． B． C． D．7．用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成______个没有重复数字的三位数.8．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）9．从，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有____________个，其中不同的偶函数共有____________个．（用数字作答）题型三:两个原理的综合应用【例1】用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【例2】某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（

）周一周二周三周四周五演讲、绘画、舞蹈、足球编程、绘画、舞蹈、足球编程、书法、舞蹈、足球书法、演讲、舞蹈、足球书法、演讲、舞蹈、足球注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.A．15种 B．10种 C．8种 D．5种【例3】回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（

）A．25 B．20 C．30 D．36【例4】用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？(1)偶数：(2)左起第二､四位是奇数的偶数；(3)比21034大的偶数.【题型专练】1．某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答）2．由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.3．（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3