专题20函数新定义小题综合

专题20函数新定义小题综合冲刺秘籍冲刺秘籍所谓“新定义背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考查学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。冲刺训练冲刺训练一、单选题1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】理解题目新定义，对各选项进行计算分析即可得出答案.【详解】若函数的定义域为，若对任意，，，当时，，则不符合导减函数的定义；，，当时，，则不符合导减函数的定义；，，当时，，则不符合导减函数的定义；，，则符合导减函数的定义.故选：D.2．（2023·四川成都·校考模拟预测）定义：设不等式的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式转化为.设，，根据的取值范围分类，作出的图象，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】可转化为.设，，则原不等式化为.易知m＝0时不满足题意.当m>0时，要存在唯一的整数，满足，在同一平面直角坐标系中分别作出函数，的图象，如图1所示

则，即，解得.当m<0时，要存在唯一的整数，满足，在同一平面直角坐标系中分别作出函数，的图象，如图2所示

则，即，解得.综上，实数m的取值范围是.故选：D3．（2023·湖南永州·统考三模）若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.【详解】因为，则，由题意得与在区间上同增或同减.若两函数同增，则在区间上恒成立，即，所以.若两函数同减，则在区间上恒成立，即，无解，综上，实数的取值范围是，对照选项中的a值，所以只有B选项符合题意.故选：B.4．（2023·广东汕头·统考二模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过二次求导可得，求出的图像的对称中心为，得到，据此规律求和即可.【详解】由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.5．（2023·浙江·校联考二模）双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（

）A．B．C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则【答案】B【分析】对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，所以，B错误；对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数；令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确；对于D，令，则，设，所以，又因为，所以，D正确.故选：B6．（2023·广东惠州·统考一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（

）A．若0在定义域中，则B．若，则C．若在上单调递增，则在上单调递减D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”【答案】C【分析】对A，根据“类奇函数”的定义，代入求解即可；对B，根据题意可得，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导判断即可.【详解】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；故选：C7．（2023·广东广州·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，．若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据欧拉函数的定义结合可求得的值，再结合欧拉函数的定义可求得的值.【详解】与互素且不超过的正整数为，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、、、，与互素且不超过的正整数为、、、，因为，，，，，所以，，则，因为与互素且不超过的正整数为、、、，所以，.故选：B.8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（

）A．B．C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形D．设函数，则【答案】C【分析】结合定义，根据选项，讨论的情况，即可判断选项.【详解】A.若为有理数，则都是有理数，则，若是无理数，则都是无理数，则，故A正确；B.若为有理数，，则都是有理数，则，若为无理数，，则都是无理数，则，故B正确；.设①当在轴上，则为无理数，且，则为无理数，矛盾②当不在轴上，则和为有理数，则为无理数，矛盾，均不存在，故C错误；

.，故，故D正确.故选：C9．（2023·黑龙江大庆·统考二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根据题意，由函数的解析式迭代可得，由此可得，进而可得，将代入计算可得答案．【详解】根据题意，，即，则，，，故有，所以，故.故选：B．【点睛】准确理解题干给出的“n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.10．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）设是定义在R上的函数，若是奇函数.是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（

）（1）当时，（2）（3）若，则实数m的最小值为（4）若有三个零点，则实数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由题可得，后由题目条件可得大致图象.（1）由题目条件可得时，；（2）注意的特殊情况；（3）由题可得时，，后结合图象可得答案；（4）问题转化为图象与直线有3个交点，等价于直线与在时的图象相切.【详解】因是奇函数，则.因是偶函数，则.则.又注意到时，，则；时，，则.以此类推，可得大致图象如下.（1）时，，.则，故（1）错误；（2）注意到当时，，故（2）错误；（3）当时，由以上分析：，则，结合图象可知若当时，，则的最小值为，故（3）正确；（4）有三个零点等价于图象与直线有3个交点.由图可得，当直线与在时的图象相切时，满足题意.注意到当时，图象上有一点，又恒过定点，，则当与在时的图象相切时，，故（4）错误.综上，只有（3）正确.故选：A

【点睛】关键点睛：本题涉及求函数解析式及对于类周期函数性质的考查.本题由函数奇偶性确定解析式后，结合题目条件得到了大致图象，可以直观且简明地判断（1）（2）（3），对于（4）所涉零点问题常可转化为函数图象与直线的交点问题.11．（2023·广东广州·统考三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先考虑命题使得成立的否定为真命题时a的取值范围，再求其补集即可.【详解】命题使得成立的否定为对，，因为当或时，，当时，，所以当或时，，若命题，为真命题，则当时，恒成立，所以，其中，设，当时，函数在单调递增，所以当时，函数取最小值，所以，所以，矛盾；当时，函数在单调递减，所以当时，函数取最小值，所以，所以，矛盾；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数取最小值，所以，所以，所以当时，命题，为真命题，所以若使得成立，则a的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．（2023·广东韶关·统考模拟预测）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则（

）A．17 B． C．19 D．【答案】C【分析】根据题意，分析的规律，将重新分组，第组为个，则每组中各个数之和为，分析所在的组，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数，当时，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，，当时，，，此时，包含，，，，共个整数，由此可以将重新分组，各组依次为、、、，，第组为个，则每组中各个数之和为，前组共有个数，则是第组的第个数，则．故选：C．【点睛】关键点睛：本题解答的关键是找到的规律，确定所在的分组.13．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图像与函数的图像的交点为，（其中表示不超过x的最大整数），则下列说法正确的个数（

）①是非奇非偶函数函数；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】对于①,利用特殊值验证，可判断；对于②，根据的含义，明确函数的解析式，进而作出图象，数形结合，可判断；对于③，确定，求和，即可判断；对于④，根据，结合等比数列的前n项和公式，即可判断，由此可得答案.【详解】对于①，函数，则，故且，即是非奇非偶函数函数，①正确；对于②，函数定义域为，满足，当时，，则当时，，故，当，，，当时，，，当，，，故当，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值，当时，，当时，，当时，，因此当时，函数，作出函数的部分图象，如图，

由图象可知，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，又满足的整数有2024个，即，②正确；对于③，，所以，③正确；对于④，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，④正确，故选：D【点睛】难点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数奇偶性以及函数值变化的规律以及求和问题，解答的难点在于明确的含义，进而明确函数的解析式特征，数形结合，进行解答.二、多选题14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得对任意的实数x恒成立，则称函数具有性质，则（

）A．函数具有性质B．若函数具有性质，则C．若具有性质，则D．若函数具有性质，且，则，【答案】ABD【分析】根据性质的定义直接验证即可判断A；利用性质迭代即可判断B；取验证性质即可判断C；根据性质迭代可得，再结合即可判断D.【详解】因为，故A正确；若函数具有性质，则，即所以，故B正确；若，取，易知恒成立，所以C错误；若函数具有性质，则，即所以所以又，所以，D正确.故选：ABD15．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（

）A．B．若，则C．当时，函数的极大值之和小于D．【答案】ACD【分析】由条件给出的变换求出的解析式可判断A；作出的图象，可知若，只需成立即可，参变分离可求出的范围可判断B；设的极大值为，则有，求出的通项，可判断D，对求和可判断C.【详解】，其中，即，故A正确；作出的图象，可得．若，只需，对即可，故，故B错误；记的极大值为（也是最大值），则，且，则，即，即，故D正确；当时，函数的极大值之和，故C正确；故选：ACD16．（2023·山东·校联考二模）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（

）A．，是“正方和谐函数”B．若为“正方和谐函数”，则C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数D．若为“正方和谐函数”，则对，成立【答案】ABD【分析】条件③．即可判定A，由条件①③可得，即可求得即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.【详解】对于A,函数，，显然满足条件①②．对任意，且时，．函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确.对于B，若函数为“正方和谐函数”，则令，，得，即，又由对，，，故B正确；对于C，设，则，所以，即有，函数在区间上不一定是单调递增，故C错误；对于D，①当时，成立，②当时，，，③当时，，，则；显然，当时，成立；假设当时，有成立，其中，那么当时，，可知对于，总有，其中，而对于任意，存在正整数，使得，此时综上可知，满足条件的函数对时总有成立.故D正确，故选：ABD17．（2023·江苏盐城·校考三模）让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（

）．A．函数的最小正周期为B．点是函数图象的对称中心C．D．【答案】BCD【分析】根据函数的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断A；由已知推出可判B；根据函数的周期性以及时，有可判断C；令代入函数表达式求值，判断D.【详解】由于，且的最小正周期为，则也是的周期,故的最小正周期为，A错误；，故，即点是函数图象的对称中心，B正确；由题意知是偶函数，且当时，有，故，C正确；由于，令，则，即，所以，D正确，故选：BCD18．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出的范围即可得出该函数是否为有界函数．【详解】对于A：的定义域为,，令，则，，，不存在正数，使得总成立，不是有界函数；对于B：的定义域为，，所以，存在，使得，是有界函数；对于C：，，存在，使得，是有界函数；对于D：，由于时，单调递增，此时，故不存在正数，使得总成立，不是有界函数；故选：BC．19．（2023·河北·校联考一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数的值域，再结合符号函数逐项判断作答.【详解】当时，，而是偶函数，则当，，因此当时，，其取值集合为，又，即是周期为2的函数，于是函数的值域为，的部分图象，如图，

当时，，A错误；，B错误；当时，，C正确；当时，取，则，此时，D错误.故选：ABD20．（2023·福建厦门·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则（

）A． B．是素数时，C． D．【答案】BCD【分析】根据给定的欧拉函数定义逐项分析计算判断即可.【详解】对A选项，由题知，所以A选项错误对B选项，当为素数时，显然成立，所以B选项正确对C选项，2的倍数都不与互质，故共有个，所以C选项正确对D选项，在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，所以，所以，所以D选项正确故选：BCD.21．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.【详解】由题意，可得，，易知，则，，则在有解，求导得：，令，解得，可得下表：极大值则当时，取得最大值为，，则的取值范围为，设，，则，所以函数在上单调递减，所以，所以的值可以是，，.故选：BCD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.22．（2023·河北张家口·统考二模）设函数在区间上有定义，若，使得对于在区间上的任意，当时，恒有，则称函数在区间上一致连续.也就是说，若函数在区间上一致连续，对于区间内任意，只要充分接近，那么与也能够充分接近，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上一致连续B．函数在区间上一致连续C．函数在区间上一致连续D．函数在区间上一致连续【答案】BC【分析】对于A项，令，充分大时可判定；对于B项，作差分子有理化放缩可得，可判定；对于C项，作差和差化积放缩可得，即判定；对于D，取，则，但，利用定义即可判定；【详解】对于选项，令，当充分大时，；另一方面，，不满足，因此，函数在上不一致连续，故错误；对于选项，令，且，则，取，当，且时，，所以，函数在区间上一致连续，故正确；对于选项，取，当时，有，不妨令，令即在定义域上单调递减，故，所以恒成立，则，当时，；当时，，综上，函数在区间上一致连续，故正确；对于选项，对给定的充分小，不妨设，取，则，但，这说明，函数在区间上不一致连续，故错误.故选：BC.【点睛】本题考查学生阅读理解能力及逻辑推理素养，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力.关键在于理解一致连续的意义，即自变量无限接近则其对应函数值无限接近，利用题目给出的一致连续的定义，我们可以得到函数在区间不一致连续的定义：对给定的某正数，不论取值多么小，总至少有，，满足，但，则称函数在区间不一致连续.这样可以找出一些反例.23．（2023·湖北·统考二模）已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（

）A．当时，存在零点B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对于选项A，把代入可得，所以不存在零点；对于选项B，由得，再通过构造函数，求的最值，从而证得当时，成立；对于选项C，用反证法先假设，推出，与矛盾，所以正确；对于选项D，令，即可得出的取值范围，从而得到.【详解】对于选项A，因为，，.所以当时，，所以不存在零点.故选项A错误.对于选项B，因为，所以，即，所以.当时，令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，所以在上递增，所以.故选项B正确.对于选项C，假设，则，因为又因为，与矛盾，所以正确.故选项C正确.对于选项D，因为，所以，令，所以，所以，，所以，所以，即.故选项D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，可利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、最值，由此来证得不等式成立.24．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（

）A．B．若，则C．若数列中，，，则D．被3除余数为0【答案】ACD【分析】A选项，由题意得到，变形得到；B选项，举出反例即可；C选项，求出，利用等差数列求和公式求出答案；D选项，分析得到，被3除余数为1，分组求和后得到其被3除余数为1011，而，故D正确.【详解】对于A，由定义“”表示不大于x的最大整数可知，，故，用代换x，即得，故A正确．对于B，不妨设，，满足，但此时，B错误．对于C，由，可得，故，则，故C正确．对于D，对任意自然数k，与均不是整数，且，则．当时，，即被3除余数为1．当时，，，则被3除余数为1，，由上述分析知其被3除余数为1011，而，即M能被3整除，故D正确．故选：ACD．【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.25．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（

）A．B．C．设函数的值域为，则的子集个数为D．【答案】BD【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.【详解】对于A中，例如，则，，可得，所以A错误；对于B中，由，，所以，所以，所以B正确；对于C中，因为，可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，若，则且，所以且，即且，所以，不符合题意，即，同理，若，则与其中一个为，另一个为，或其中一个为，另一个为，不妨令，则，此时，，则，，所以，，又，显然不符合题意；再令，则，此时，，则，，所以，，又，不妨令，，此时满足；即函数的值域为，所以集合的子集个数为，所以C错误；对于D中，设，若，可得，所以，，则，所以的周期为，又当时，可得，此时；，此时；，此时；，此时，所以，结合周期为，即恒为，即，所以，所以D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.三、填空题26．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其