15等比数列专题复习讲义-高考数学一轮复习专题讲义（学生版）

等比数列【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()．A．－9 B．－8 C．－7 D．－42．数列{an}满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=A．10 B．8 C．－8 D．－103．已知数列an为等差数列，且a1=2,a2+A．40 B．42 C．43 D．454.设是公差为正数的等差数列，若，，则等于()A．120 B．105C．90 D．755.数列的首项为3，为等差数列且．若,，则()A．0 B．3 C．8 D．11

【知识点】1等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.要点诠释：=1\*GB3①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个;③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件;④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；2.等比数列的通项公式首项为，公比为的等比数列的通项公式为：3.等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中.要点诠释：①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项.当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项.②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一.但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一.③当时，、、成等比数列.④是、、成等比数列的必要不充分条件。

4.等比数列的判定(1)定义法：(2)等比中项法：5.等比数列的性质（1）若，且,则，特别地，当时.（2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.（3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；（4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为.（5）等比数列单调性问题：当且时，等比数列是递增数列；当且时，等比数列是递减数列；当且时，等比数列是递减数列；当且时，等比数列是递增数列。当时，等比数列是摆动数列。6.等比数列的前项和公式：

【典型例题】考点一：等比数列通项公式的应用例1已知等比数列满足，，则等于A．B．C．D．练1.若等比数列的第4项和第6项分别是1和16,则其第5项为A． B． C． D．例2.已知数列满足，则等于A. B. C. D.练1.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为()A.2 B.4 C.8 D.16练2.若数列满足：，，则______.练3.已知等比数列的公比为，若，则例3.等比数列中，,,求.练1.已知等比数列中,,那么的值为.

考点二：等比中项问题例1.等比数列中，，，则与的等比中项是()A.±4 B.4 C.±eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)练1.在等比数列中，，且，则的值为___.例2.已知数列是公比为的等比数列，，则的值为A. B. C.或 D.或例3.若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________.练1.如果成等比数列，那么A. B.C. D.练2.设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于()A.2 B.4 C.6 D.8练3.在等比数列中，，公比.若，则()A.9 B.10 C.11 D.12

考点三：等比数列性质问题例1.已知等比数列中，则公比（）A. B. C. D.例2.等比数列中，若,求.例3.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A. B. C. D.例4.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.例5.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是()A.是等比数列B.对于，，C.对于，都有D.若，则对于任意，都练1.已知等比数列中，，，则等于（）A. B. C. D.练2.等比数列的各项均为正数,且,则练3.若等比数列满足，则公比为A.2 B.4 C.8 D.16练4.设等比数列的前项和为，若，则等于()A.1∶2 B.2∶3C.3∶4 D.1∶3

考点四：利用定义证明等比数列例1.已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.练1.已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由

考点五：等比数列前项和例1.等比数列的前项和为,已知,,则A. B. C. D.例2.已知等比数列{}中，且，那么的值是()A.15B.31C.63D.64例3.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为.若对,有,则的取值范围是（）A.B.C.D.练1.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（）A.B.C.D.练2.已知数列满足,且数列的前项和,则数列的前5项和等于A. B. C. D.练3.若等比数列满足，，则公比；前项和.例4.已知等比数列的公比，且，.（Ⅰ）求公比和的值；（Ⅱ）若的前项和为，求证：.【小试牛刀】1.若数列满足，则A.数列不是等比数列 B.数列是公比为的等比数列C.数列是公比为2的等比数列 D.数列是公比为的等比数列2.已知等比数列，若，，求.3.等比数列中，，，则的值为()A.3×10－5 B.3×29 C.128 D.3×2－5或3×294.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.5.在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有，则公比应满足()A. B. C. D.6.已知等比数列中,，，则_______7.设等比数列的前项和为若则

【巩固练习——基础篇】1.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于A.33 B.72 C.84 D.1892.设等比数列的公比为，则数列的前n项和为()A. B. C. D.3.已知等比数列满足，，且，则当时，＝（）. A. B. C. D.4.若等比数列满足，，则公比；5.若数列满足，给出以下四个结论：①是等比数列； ②可能是等差数列也可能是等比数列；③是递增数列； ④可能是递减数列.其中正确的结论是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④6.在等比数列中,是方程的两根，则＝________.

【巩固练习——提高篇】1.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值3.已知数列的前项和，若恒成立，则实数的最大值是A． B．