第05讲函数与方程(精讲题型归类练)

第05讲函数与方程(精讲+题型归类练)目录题型一：判断函数零点所在区间题型二：判断函数零点个数题型三：根据零点个数求函数解析式中的参数题型四：求零点代数运算（和与差等）题型一：判断函数零点所在区间典型例题例题1．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）下列区间中，包含函数的零点的是（

）A． B． C． D．思路分析：根据思路分析：根据判断单调性+零点存在性定理求解；；；，因为，所以选B步骤①：在上；在上；根据，所以在上步骤②：利用零点存在性定理：直接代入答案验证：【答案】B解：因为，所以在定义域上单调递增，又，，，所以，所以，使得，即的零点位于；故选：B同类题型演练1．（2022·湖北·高二学业考试）方程的正实数根所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C解：令,,,所以函数的零点在（1,2）内,又因为，所以函数的零点在内.故选：C.2．（2022·江苏南京·高一期末）设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】C由解析式知：在定义域上递增，又，，所以在内存在零点，结合题设知：.故选：C3．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B易知函数在定义域上单调递减，且，，所以存在唯一零点，且.故选：B4．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数，下列含有函数零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C解析：因为函数单调递增，且，，，，.且所以含有函数零点的区间为.故选：C．题型二：判断函数零点个数典型例题例题1．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：本题求分段函数零点的个数，注意到当思路分析：本题求分段函数零点的个数，注意到当时，，可通过转化成求两个函数的个数来判断；当时，，用过因式分解直接求出零点.当当时，；令则的零点的个数即为对应方程根的个数，也即为根的个数交点个数；步骤①：先直接求出时，零点的个数：令：解得：或（舍）；所以时，有一个零点.步骤②：当时，等价转化步骤③：在同一坐标系中画出图象通过观察图象，得，当时，有两个交点；综上：有3个零点.【答案】D当时，则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当时，函数的零点有两个，当时，，即当时，函数的零点有一个.综上，函数的零点有三个.故选：D同类题型演练1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数所有零点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C解：由题可知，，且，故函数为定义域上的偶函数，且，当，且时，，当时，，函数单调递减，且，故函数在区间上无零点，当时，，函数单调递减，当时，，当时，，故函数在区间上必存在一点，使得，所以函数在区间上有1个零点，又函数为定义域上的偶函数，则函数在区间上有1个零点，又，所以函数共有3个零点.故选：C.2．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）设函数，若，，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B由已知知，，，，即时，，时，，或（舍去），时，，，因此只有两个解，即函数有两个零点．故选：B．3．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.【答案】10因为，则有，即函数是R上以2为周期的周期函数，令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图：观察图象得：函数与在上的图象有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.故答案为：10题型三：根据零点个数求函数解析式中的参数典型例题例题1．（2022·河南洛阳·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：，且恰有2个零点，转化为有两个根；等价为有两个交点，通过画出函数的图象，移动图象，找到有两个交点的情况，求步骤步骤①：画出的图象，画出的图象；如图：通过平移的图象，得到当时，有两个交点；解得：【答案】B依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.故选：B.同类题型演练1．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C，，函数有零点，与有交点，，即，故选：C2．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____.【答案】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．题型四：求零点代数运算（和与差等）典型例题例题1．（2022·江苏·高一期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.思路分析：思路分析：，，说明有四个交点，交点的横坐标就是对应的，，，，再根据图象的对称性和奇偶性的特点求步骤步骤①：画图出的图象当时，，是对钩函数属于应该记忆的函数模型当时，，属于二次函数模型.步骤②：当时步骤③：当时如图：令，则由对称性：；，是方程的两个根，整理得所以，所以；问题转化为求的取值范围：如左图，要使得有四个交点则，所以【答案】作出函数的图象，由图知当时，，在上单调递减，在上单调递增，令，若存在，使得，由图可得，由即，所以，因为函数的对称轴为，所以，所以，故答案为：.同类题型演练1．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（

）A．0 B．2 C．－1 D．－2【答案】D函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，令，，即函数的图象与有四个不同的交点，两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：所以，不妨设，则，所以.故选：D2．（2022·浙江·高三专题练习）设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B因为，即，设，，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，点、关于直线对称，则，由图可知