231图形的旋转-2022-2023学年九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

23.1图形的旋转考点一．旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_．旋转有三要素：（1）_旋转中心__；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_．考点二．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．考点三．旋转作图的基本步骤（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．题型一：生活中的旋转现象1．（2022·全国·九年级）在以下生活现象中，属于旋转变换的是（）A．钟表的指针和钟摆的运动B．站在电梯上的人的运动C．坐在火车上睡觉的旅客D．地下水位线逐年下降2．（2022·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（

）A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降3．（2021·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的有（

）个①地下水位逐年下降

②传送带的移动

③方向盘的转动

④水龙头开关的转动

⑤钟摆的运动

⑥荡秋千运动A．5 B．4 C．3 D．2题型二：旋转的三要素4．（2022·广东广州·模拟预测）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45° C．90° D．135°5．（2022·全国·九年级）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（

）A．O B．P C．Q D．M6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（

）A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点题型三：旋转的性质7．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）如图，∠AOB=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转20°得到△COD，则∠COB的度数是（）A．20° B．70° C．90° D．110°8．（2022·全国·九年级单元测试）如图中，，是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转，点落在的延长线上的处，点B落在处，若，，则的长为（

）A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.59．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．2 C．5 D．题型四：旋转对称图形10．（2019·浙江湖州·九年级期中）如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（

）A． B． C． D．11．（2019·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（）A． B． C． D．12．（2019·四川德阳·九年级期末）下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（）A． B． C． D．题型五：旋转中的坐标问题13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（

）A．（2，3） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）14．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（

）A． B． C． D．15．（2022·全国·九年级单元测试）如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（

）A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）题型六：旋转中的规律问题16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（

）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．17．（2022·四川内江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是（

）A．(22022，22022) B．(22021，22021) C．(22021，22021) D．(22022，22022)18．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形，那么点的坐标是（

）A． B． C． D．题型七：旋转综合题19．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．(1)S△ABD=．（直接写出结果）(2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α(α<90°)，在旋转过程中：探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由；探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形．20．（2021·湖南·宁远县仁和镇中学九年级）已知中，，，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．(1)如图1，当时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由；(2)如图2，当，时，点E恰好与点A重合，若，求BQ的长．21．（2022·全国·九年级期中）（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，，求证：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．一、单选题22．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）小华将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个如图所示的雪花图案，则可以为（

）A． B． C． D．23．（2022·全国·九年级单元测试）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为（

）A． B． C． D．24．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD⊥BC，，则∠ACB的度数为（

）A． B． C． D．26．（2022·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连续为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（1，1）(1)把△ABC向左平移6个格后，画出平移后的△并写出点的坐标？(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△，画出△的图形，并写出点的坐标？27．（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．(1)求证：；(2)若，，求的面积．一：选择题28．（2022·全国·九年级单元测试）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（

）A．1 B． C． D．29．（2022·全国·九年级期中）如图，在中，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接，则（

）A．1 B． C． D．30．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在中，，以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若，则的值是（

）A．25° B．30° C．35° D．45°31．（2022·全国·九年级单元测试）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④32．（2022·天津河西·二模）如图，将绕点B逆时针旋转60°得到，点A的对应点为D，交于点P，连结，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．是等边三角形33．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知是等边三角形，边长为，将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④35．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①，②，③线段PF的最小值是，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④36．（2022·全国·九年级课时练习）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(

)A． B． C．4 D．二、填空题37．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学九年级阶段练习）如图，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD－∠AED＝60°，DC＝3，则DE的长为_______．38．（2022·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校九年级期中）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是_______．39．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，为正方形内的一点，绕点按顺时针旋转后得到，连接，若三点在同一直线上，则的度数为___________．40．（2022·湖北孝感·九年级期末）如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC与DE交于F，连接CE，若∠BFD＝20°，则∠ACE＝_____度．41．（2022·江西吉安·九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将DAE绕点D逆时针旋转90°，得到DCM．若AE=1，则FM的长为__．42．（2022·全国·九年级期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，则______．三、解答题43．（2022·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．44．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．(1)如图1，当点D在边BC上时，BD＝，且AD＝2，则AB＝______；(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADB＝45°，请你证明线段CD与AD的数量关系；(3)）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAB面积的最大值______．45．（2022·广东汕头·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC=，点D，E分别在边AB，AC上，且，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接CE，BD，CD．(1)当时，求证：；(2)如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分．46．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．1．A【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．2．B【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．【详解】A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．3．B【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④⑤⑥共4个．故选：B．【点睛】本题考查了生活中的平移与旋转，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．4．D【分析】利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB＝45°得到∠AOC的度数即可．【详解】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝45°+90°=135°，即旋转角为135°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5．B【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【详解】解：如图，连接，，可得其垂直平分线相交于点P，旋转中心是点P．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．6．C【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到的位置，∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．故A，B，D三项错误，C正确．故选：C．【点睛】此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．7．B【分析】根据旋转的性质得，再由即可求解．【详解】根据旋转的性质得，∵∠AOB=90°，∴．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，利用旋转角得到∠AOC=20°是解题的关键．8．C【分析】过点A作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长．【详解】解：过点A作于点，如图所示：∵，，，根据勾股定理，得，∵是的中点，∴，∵，∴，即，解得，∵，根据勾股定理，可得，根据旋转的性质，可得，∴点是的中点，∴，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键．9．C【分析】连接．先判定，即可得到．再根据，，利用勾股定理即可得到，中，，进而得出的长．【详解】解：如图，连接．与关于所在的直线对称，，．按照顺时针方向绕点旋转得到，，．，．．（SAS）．．四边形是正方形，．，．在中，，，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10．C【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意；B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意；C．由旋转变换得到，故本选项符合题意；D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．11．C【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可．【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角，再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角．故选C．【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键．12．B【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．即：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心．【详解】A.绕中心旋转60°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，不是旋转对称图形，故本选项正确；C.绕中心旋转72°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；D.绕中心旋转120°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误．故选B．13．C【分析】利用矩形的特点和旋转的性质解答即可．【详解】解：矩形的对边相等，B′C′＝OA＝4，A′B′＝OC＝2，∴点B′的坐标为（4，2）故选：C．【点睛】本题主要考查矩形的性质和坐标在象限内的符合，熟练掌握坐标在象限内的特点为解题的关键．14．A【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可．【详解】解：设点的坐标为，∵点的坐标是，点的坐标是，∴由旋转的性质可得，，即，整理得，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意，故选：A【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．15．A【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=CD=3，DE==3，∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3），故选：A．【点睛】本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．16．C【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，∴B（1，1），由勾股定理得：，由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，），B2（－1，1），B3(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0），B8（1，1），……，发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，∵，∴点B2020与点B4重合，∴点B2020的坐标为（－1，－1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．17．D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．【详解】∵是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），∴，∴A点坐标为(1，1)．将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，即，，，．∵，∴点与同在一个象限内．∵，，，∴点．故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．18．D【分析】分析正方形OABC的运动规律，找到循环周期，画出绕点旋转次后，正方形的位置，即可求解．【详解】解：∵，∴依此方式绕点旋转，每旋转次，正方形就会回到开始的位置，∵，∴绕点旋转次后，正方形的位置如图所示：根据旋转的方式可知，，且，，∴是等腰直角三角形，设，则，解得，（舍去），∴，∵点在第四象限，∴点的坐标为，故D正确．故选：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平面直角坐标系内找点的规律、勾股定理等，找到循环周期，画出正方形OABC绕点旋转次后，正方形的位置，是解题的关键．19．(1)4(2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则；（2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化；②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即．（1）解：，，，，；故答案为4；（2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下：在中，，，，，，，，又，，，在和中，，（ASA），；②时，四边形是正方形．理由如下：，当时，而，四边形为矩形，，，四边形是正方形，此时，即．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．20．(1)，理由见解析；(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，根据“SAS”可证明，即可得出∠CBQ=∠CAP=90°；（2）根据（1）可证明得到，由∠DAC=120°，∠ACP=15°,得到△PCH为等腰直角三角形，在Rt△ACH中可求出AH、CH，继而可求出PH的长，可得出结论．（1）解：结论：；理由如下：如图1，设QE与CP的交点记为M，∵，，∴是等边三角形，∴，，由旋转的性质得：，且，∴，∴，即，则在△CQB和△CPA中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：作CH⊥AD于H，如图2，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，且，∴，∴，即，在△CQB和△CPA中，，∴∴，∵，，∴，，∴，∴△PCH为等腰直角三角形，在Rt△ACH中，，，∴，，在Rt△PHC中，，∴，∴．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出是解本题的关键．21．（1）见解析；（2），理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，结合（1）中证明方法进行证明即可．【详解】证明：（1）∵，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵，∴，即点F、D、G共线，∴，，，即．∵，∴∴．∴，即（2）．理由：如图2所示．∵，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∵∴点C、D、G在一条直线上．∴，，．∵∴．∵∴∴．∴∴∵∴．【点睛】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．22．B【分析】根据旋转对称性质，利用即可求解．【详解】解：∵雪花图案由6个图案组成，由旋转的性质，可得，将图中的图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，每次旋转，故选B．【点睛】本题考查了旋转对称性，求得旋转角是解题的关键．23．B【分析】由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．【详解】解：由旋转的性质可知：，，．，，，，．故选B．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．24．D【分析】连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出，得到△为等腰直角三角形，点在y轴上，利用勾股定理求出O即可．【详解】解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴，，∴，∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，∵，∴=2，∴（0，2），故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．25．A【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据平角的定义即可得．【详解】解：∵将旋转得到，，∴，，，∵，∴，又，，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．26．(1)图见解析，点的坐标为（7，1）；(2)图见解析，点的坐标为（5，5）．【分析】（1）△ABC的各点向左平移6格后得到新点，顺次连接得△，根据图形即可写出点的坐标；（2）△ABC的另两点绕点C按顺时针方向旋转90°后得到新的两点，顺次连接得△，根据图形即可写出点的坐标．（1）解：画出的△如图所示，点的坐标为（7，1）；；（2）解：画出的△的图形如图所示，点的坐标为（5，5）．【点睛】本题主要考查对作图旋转变换，作图平移变换，坐标与图形，能根据平移和旋转的性质正确画图是解此题的关键．27．(1)证明见解析(2)8【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，∴∠ABF=，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF=AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，∴∠FAE=，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，∴AE=2DE=4，∴△AEF的面积=．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．28．B【分析】连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可．【详解】如图所示，连接、∵四边形是四边形逆时针旋转∴，∴是等边三角形∴在中，∴故选：B．【点睛】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键．29．B【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，△BOB'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'和BB'的长，最后作差即可．【详解】解：由旋转性质可知，OA=OA'=1，OB=OB'=,∠AOA'=∠BOB'=90°，则△AOA'为等腰直角三角形，△BOB'为等腰直角三角形，∴，，∴故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．30．B【分析】由旋转的性质可得，再根据平行线的性质，得，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出是解题的关键．31．B【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．32．D【分析】由题意可知，将△ABC旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D正确，其他三项逐项进行排除即可；【详解】解：A、由题意可知，DE=AC不一定等于CB，故A选项错误；B、由于D、B、C不一定在同一个直线上，故∠EBA不一定等于60°，故B选项错误；C、由题意可知，AD≠PD，故∠CAD≠∠APD，故，C选项错误；D、由旋转的性质可知，△ABD为等边三角形，故D选项正确；故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键．33．B【分析】过点作于点过点作轴于点求出点的坐标，再利用全等三角形的性质求解．【详解】解：过点作于点，过点作轴于点．是等边三角形，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．34．D【分析】根据等腰直角三角形求出，根据旋转得出BF=DC，，，，即可判断①，证，即可判断③，求出BF=DC，，根据勾股定理即可判断④，根据已知判断②即可．【详解】解：正确的有①③④，理由是：∵在

中，AB=AC，∴，∵将绕点A顺时针旋转后，得到，∴，∴BF=DC，，，∵，，∴，∴，即∴①正确；在和中，∴，∴，即EA平分，∴③正确；∴EF=DE，∵将绕点A顺时针旋转90°后，得到，∴，BF=DC，∵，∴在中，由勾股定理得：∵BF=DC，EF=DE，∴∴④正确；根据条件，不能推出，故不能推出BE=DC，∴②错误；∴正确的有①③④；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质的应用、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及勾股定理，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．35．A【分析】①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“SAS”证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论；②证明△DEF为等腰直角三角形，即可得出结论；③根据，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点F，此时PF最小，求出此时PF的长即可；④根据，得出，表示出，即可求出最大值．【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴，AC平分和，，∴，根据旋转可知，，，∴，∴，∴（SAS），∴，，∴，∴，故①正确，符合题意；②∵，，∴△DEF为等腰直角三角形，∴，故②正确，符合题意；③∵，∴点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点F，此时PF最小，如图所示：∵CP＝3PD，∴，∵，，，∴，∴△PCF为等腰直角三角形，i∴，即PF的最小值为，故③错误，不符合题意；④∵，∴，，∴当时，的面积最大，且最大值为16，符合题意；综上分析可知，其中正确的是①②④，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“SAS”证明，是解题的关键．36．B【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，∴AF=AP，∠PAF=90°，∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，∴∠FAE=∠PAG，在△AEF和△AGP中，∴△AEF≌△AGP（SAS），∴PG=EF=2，∵BC=3，CE=2BE，∴BE=1，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∵AG=AE，∠GAE=90°，∴，在△GPE中，PE＞GEPG，∴PE的最小值为GEPG=，故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．37．6【分析】由旋转的性质可得AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，求出∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，根据含30°直角三角形的性质可得答案．【详解】解：∵∠ACE＝∠AEC＝45°，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，如图3，将△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ACH，连接DH，∴△AED≌△ACH，∴AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，∴∠ADH＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠HDC＝90°，∵∠ACD−∠AED＝60°，∴∠ACD−∠ACH＝60°＝∠DCH，∴∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，∴CH＝2CD＝6，∴DE＝CH＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及含30°直角三角形的性质，利用旋转的性质构造直角三角形是解题的关键．38．【分析】作，根据已知条件可以得到而，则由此可确定的横坐标，接着确定的横坐标，根据的横坐标和的长度可以确定的坐标．【详解】如图，以点为顶点的三角形向上平移3个单位，得到（分别是C的对应点），的坐标分别为，过A作AD于D，过，,而,的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了平移、旋转的性质，解决本题的关键是正确确定出的坐标，进而确定出的坐标．39．【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和，即可求得．【详解】解：由旋转可知，BE＝BF，∠EBF＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF＝45°，∵A、E、F三点在同一直线上∴∠AEB＝180°−45°＝135°，故答案为：135°．【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推理是解本题的关键．40．80【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠AED，AC＝AE，由外角的性质可得∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：如图，设AC与DE交点为O，∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∴∠ACB＝∠AED，AC＝AE，∵∠COE＝∠CAE+∠AED＝∠ACB+∠EFC，∴∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．41．2.5【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用ABAE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BMFM=BMEF=4x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BMMF=BMEF=4x，∵EB=ABAE=31=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得，，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．42．135°##135度【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，根据旋转的性质，得出△EBP为等腰直角三角形，得出，根据直角三角形的逆定理得出△PAE是直角三角形，∠AEP=90°，即可求出∠AEB=90°+45°=135°，最后根据，得出．【详解】解：将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，如图所示：根据旋转可知，，，，，∴，，∵，，∴，∴△PAE是直角三角形，∴∠AEP=90°，∴∠AEB=90°+45°=135°，∵，∴．故答案为：135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理和逆定理，作出辅助线，得出等腰直角△EBP和直角△PAE是解题的关键．43．(1)AD＝2PD(2)成立，证明见解析(3)【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．（2）结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF＝2PD，再证明AD＝BF即可解决问题．（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，首先证明∠ADP＝60°，解直角三角形求出即可解决问题．（1）解：如图2中，∵DC＝DA，∠CDA＝120°，∴∠PCA＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAP＝60°，∴∠CPA＝90°，由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．∵BP＝EP，DE＝DF，∴BF＝2PD，BFPD，∵∠EDC＝120°，∴∠FDC＝60°，∵DF＝DE＝DC，∴△DFC是等边三角形，∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，∴∠BCF＝∠ACD，∵CF＝CD，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴BF＝AD，∴AD＝2PD．（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵DPBG，∴∠ADP＝∠AGB＝60°，如图3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．设DN＝a，则PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝a，可得PN＝AD，在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°，过点作，则，∴∴CD＝DE＝2，∵∠ACD＝45°，∴CM＝DM＝2．AM＝，在Rt△ADM中，．在Rt△PAD中，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全