专题03函数的概念与性质(模拟练)

专题03函数的概念与性质(模拟练)一、填空题1．（2020·上海·二模）函数的定义域是______.【答案】【分析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果.【解析】由得，所以函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域，属于基础题.2．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．【答案】【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．【解析】解：当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），根据一次函数解析式的特点，可得出方程组，解得．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为．故答案为：3．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．【答案】【分析】利用函数是奇函数，即可求解.【解析】设，.故答案为：4．（2021·上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，当时，，，此时，.又，综上所述，.①当时，由，得，解得，此时，；②当时，即当时，由得，整理得，解得，此时；③当由得，解得，此时.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.5．（2021·上海静安·一模）已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，_________．【答案】【分析】根据是实数集上的偶函数，且以2为周期的周期函数，分，两种情况求解.【解析】因为偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，所以，当，，，所以，综上：，故答案为：6．（2022·上海·模拟预测）若函数的值域是，则函数的值域是________.【答案】【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【解析】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是.故答案为：7．（2021·上海虹口·一模）已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】1【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【解析】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：1.8．（2021·上海市大同中学三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【解析】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时需满足，即，解得，综上可知故答案为：【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.9．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．【答案】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当时函数的解析式，再利用函数的单调性对进行分类讨论，确定单调性即可求解.【解析】由题意可知，因为，所以，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以.因为函数在上的最小值为当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得，当时，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增；在上单调递减；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），综上，实数的值为.故答案为：.10．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____.【答案】【分析】设，令、求得，结合单调性求出a值，代入验证即可得结果.【解析】设，令得：；令得：，因为为定义在上的增函数，所以，当时，由矛盾.故.故答案为：11．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：，则不等式的解集为____．【答案】【分析】根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集．【解析】根据题意可得，且为奇函数当时，，则在上单调递增∴在上单调递增则，即，解得∴即的解集为故答案为：．12．（2022·上海崇明·二模）设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．【答案】##0.2【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．【解析】∵是周期为2的函数∴，又∵，即，则∴故答案为：．13．（2020·上海·模拟预测）函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.【答案】【解析】可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．【解析】因为设，所以；则是奇函数，所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即，∵是奇函数，∴，则.故答案为：2．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．14．（2020·上海金山·二模）已知函数，若，则__________【答案】【分析】令，可得为奇函数，求得后，即可得，即可得解.【解析】令，则，，为奇函数，又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用，考查了构造新函数的能力和运算求解能力，属于中档题.15．（2020·上海闵行·二模）已知是定义在R上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据题意可得出在上单调递减，且，从而根据原不等式即可得出，解出x的范围即可.【解析】解：∵，且时，，∴在上单调递减，∴在上单调递减，∴由得，∴，解得，∴原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.16．（2016·上海奉贤·一模）已知是常数，，若函数的最大值为10，则的最小值为__________．【答案】；【分析】记函数，由函数的奇偶性和最值的关系可得．【解析】解：记函数，，函数为奇函数，设当时，函数的最大值为10，则，此时取最大值，由奇函数的性质可得当时，函数取最小值，当时，函数取最小值，故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及函数的奇偶性和最值，属于中档题．17．（2017·上海市七宝中学模拟预测）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为____________.【答案】【分析】由题意可知为奇函数，并且单调递增，将不等式，等价变形为，即.设.若对任意恒成立，则需恒成立，对分类讨论，求解即可.【解析】的定义为，关于原点对称，.为定义在上的奇函数.当时，，在上单调递增.为定义在上的增函数.，即设若对任意恒成立.则需恒成立.当时，在上恒成立当时，在上单调递增，则不满足题意，舍去当时，在上单调递减，则需解得，即综上所述：故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于较难的题.18．（2022·上海虹口·二模）已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是_________.（写出一个即可）.【答案】或【分析】首先可得是以为周期的周期函数，根据的解析式，得到的图象，再对在不同区间进行讨论，得出符合条件的值．【解析】解：因为是定义域为的奇函数，所以，又函数图像关于直线对称，所以，所以，所以，即是以为周期的周期函数，又当时，，令，则，所以，所以，所以当时，时，所以的部分图象如下所示：若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足，若，则，在上单调递增，在上单调递减，所以，，显然不满足，若，则，所以，，由，即，解得或（舍去）；若，则，所以，或，由，即，解得或（舍去）；当时，，所以，，显然不满足，故舍去；故答案为：或19．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．【答案】或3.【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【解析】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.再分析区间与的关系，因为，故或.①当，即时，因为在区间上为减函数，故当，，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以，此时，故，解得，因为，故；②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；综上所述，或3故答案为：或3.20．（2017·上海浦东新·二模）已知定义在上的函数满足：①；②；③在，上的表达式为，则函数与的图象在区间，上的交点的个数为_______.【答案】6【解析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出和的部分图象，由图象观察交点的个数．【解析】①，②，图象的对称中心为，图象的对称轴为，结合③画出和的部分图象，如图所示，由图可知与的图象在，上有6个交点．故答案为：6．【点睛】本题借助分段函数考查函数的对称性以及函数图象交点个数等问题，考查作图能力以及数形结合思想的应用，属于中档题．21．（2020·上海黄浦·一模）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a＝5.其中正确结论的序号是_____.【答案】②③.【解析】对于①，当时，不存在满足；对于②，由于，所以具有性质；对于③，由于时，，所以时必有，所以；对于④，由于，所以可得.【解析】对于①，当时，不存在满足，故①不正确；对于②，由于，所以，所以具有性质，故②正确；对于③，由于为增函数，且时，，所以时必有，所以，故③正确；对于④，由于，若y具有性质M，所以可得，故④不正确.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查对函数新定义的性质理解，深刻理解定义的本质是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.22．（2017·上海杨浦·一模）函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在，，…，满足，且，则最小值为__________．【答案】1513【分析】根据条件先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，，利用周期函数，即可求解【解析】∵函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，∴函数的值域为，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，，∵，，∴的最小值为，相应的最小值为1008，则的最小值为1513.故答案为:1513【点睛】本题考查周期函数性质的应用，考查函数最值，注意审题，是一道较难题.二、单选题23．（2021·上海奉贤·二模）下列选项中，可表示为的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【解析】选项A，当时，，故不正确；选项B，当时，，故不正确；选项C，当时，等等，故不正确；选项D，由，可得，为指数型函数，所以正确.故选：D.24．（2021·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，给出以下两个结论：①若函数②的图像是轴对称图形，则函数的图像是轴对称图形；②若函数的图像是中心对称图形，则函数的图像是中心对称图形．它们的成立情况是（

）A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立C．①②均不成立 D．①②均成立【答案】C【分析】根据所给条件，举一反例即可得解.【解析】对于①，设，该函数图象关于对称，则，图象不是轴对称图形，故①错误；对于②，设函数，图象关于点对称，则，图象不是中心对称图形，故②错误.故选：C.25．（2020·上海嘉定·二模）下列函数中，既是上的增函数，又是偶函数的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.【解析】对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在是减函数.故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.26．（2018·上海静安·二模）已知函数,实数满足,,,则的值(

）A．一定大于30 B．一定小于30C．等于30 D．大于30、小于30都有可能【答案】B【分析】设,则其在上为增函数,且为奇函数,因而利用其单调性,奇偶性可以将变形为,即,进而求解.【解析】设,其在上为增函数,又,所以为奇函数,若,则,则有,即有,则有,变形可得,同理可得:,,三个式子相加,可得;故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性,单调性的综合应用,需要学生对函数性质掌握熟练并灵活应用.27．（2016·上海嘉定·二模（文））已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解.【解析】解：设，任意给点关于的对称点为，由，又，观察系数可得：，解这个方程组得到，故选：C.【点睛】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法.28．（2017·上海市宜川中学三模（理））已知函数，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用求得的值，由此求得的值.【解析】由于，所以，解得.所以.故选：D【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.29．（2017·上海闵行·一模）函数在区间上的最大值是，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对讨论，分，，可得成立，由，可得或,由,即可得到所求范围.【解析】若，则，在的最大值为，即有，可得，不成立；则，由，可得或，由图像结合在区间上的最大值是可得，解得，故选：C.【点睛】本题主要考查的函数的最值，以及分类讨论思想，是中档题.30．（2021·上海·模拟预测）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用题目给出的定义，对每一个选项中给的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即Q是函数的值域，且函数为定义域上的增函数，即可得到答案【解析】根据题意，函数的定义域为，单调递增，值域为，由此判断，对于A，定义域为，值域为整数集，且为递增函数，没有这样的函数，对于B，定义域为，值域为，且为递增函数，没有这样的函数，对于C，定义域为，值域为，且为递增函数，没有这样的函数，对于D，可取，且在上为增函数，且值域为，满足题意，故选：D31．（2021·上海长宁·二模）已知函数满足：对任意，都有．命题：若是增函数，则不是减函数；命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（

）A．和都是真命题 B．和都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题【答案】C【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.【解析】对于命题：设，因为是上的增函数，所以，所以，因为，所以所以故函数不是减函数，故命题为真命题；对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，因为，所以，所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命题为假命题．故选：C【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，；或.32．（2020·上海·模拟预测）已知函数，若存在实数，，，满足，其中，则取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【解析】函数的图象如下图所示：若满足，其中，则，，则，即，则，同时，，∵，关于对称，∴，则，则，则，∵，∴，即，故选：B．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型．三、解答题33．（2021·上海徐汇·二模）已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．【答案】（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当时，令，解得∈[﹣1，1]，所以零点为.（2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案.【解析】（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由，得，化简得，即，则∈[﹣1，1]，所以，函数f（x）的零点为；（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又当a＝0时，，则；对任意x∈[﹣1，1]都成立，综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．34．（2021·上海青浦·二模）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k为工厂工人的复工率().A公司生产t万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）对任意的(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【答案】（1），；（2）工人的复工率达到0.65时，公司不亏损.【解析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．【解析】（1）依题意，，；（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则在恒成立，∴，，，设在上递增，∴，∴.即当工人的复工率达到0.65时，公司不亏损.【点睛】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．35．（2016·上海·二模（理））已知函数.（1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)【分析】（1）先求出的值，再比较与的关系，根据的取值讨论函数的奇偶性；（2）由题意可知，在上恒成立，令，，那么本题转化为在上恒成立，本题就转化为求在上的最小值问题.【解析】（1），，若，则，此时函数为偶函数；若，则，此时函数为奇函数；若时，为非奇非偶函数.（2）由得，令，原不等式等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，，当时，有最小值，所以.【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论的思想方法和奇偶性的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.36．（2022·上海徐汇·二模）已知为实数，函数，．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)和(2)【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的增区间；（2）由已知可得，推导出，可得出，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.(1)解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和.(2)解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.37．（2021·上海黄浦·一模）已知实数是常数，函数.（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：（i）求集合；（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；（2）（i）；（ii）在上是减函数，证明见解析，最小值为.【分析】（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明的关系即可证函数的奇偶性.（2）（i）由题设可得，由根式的性质，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根据解析式判断大小即可确定单调性，利用与()的值域相同求最小值.【解析】（1）实数是常数，函数，由，解得.函数的定义域是.对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，∴函数是偶函数.（2）由，有.（i）()，则.，，即..（ii）由（i）知：的定义域为.对于任意的且，有.又且(这里二者的等号不能同时成立)，，即.函数在上是减函数..又函数的值域与函数的值域相同，函数的最小值为.【点睛】关键点点睛：（1）根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；（2）由根式性质，求换元后t的范围，利用单调性定义判断的单调性，进而由的值域求的最小值.38．（2020·上海长宁·一模）设，其中常数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究