第03节三角函数与导数结合类型中隐零点问题的探究（学生版）

第03节三角函数与导数结合类型中隐零点问题的探究第三节三角函数与导数结合类型中隐零点问题的探究三角函数和导数相结合问题是高考常见的类型，同时，在函数中会涉及三角函数、指数函数和对数函数，类似等类型，这三类广义上被称为超越函数，求解这类题目需要运用放缩、换元、分类讨论等方法．在求导过程中，由于三角函数具有周期性，难以通过多次求导使三角函数消失，这造成学生思维上的障碍．因此，教师有必要通过深入研究和分析出三角函数与导数结合问题的解决方法，建立解决此类问题的数学思维模型，进而更加有效地解决此类问题．下面本文对三角函数与导数结合类型中隐零点问题进行探究．1三角函数和对数型函数结合的极值与隐零点问题例1已知函数为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．分析本题考查的是三角函数和对数型函数的综合问题，是一道导数的压轴题．三角函数的出现从已知条件上就让考生产生畏惧心理，达到初步选拔的作用．第（1）问中极大值的唯一性，本质上还是在导数的层面上研究零点问题，零点值不能具体解得，注重考查隐零点的运用，进一步达到区分不同层次考生的目的．第（2）问表面上是常规的零点问题，实际上对考生提出进一步的要求，考查考生在分类讨论的基础上对隐零点问题的掌握和运用的程度，进而更加有效地起到区分和选拔考生的关键作用．解析（1）由题意知（如图1甲所示）定义域为且（如图1乙所示），令，（如图1丙所示）．因为函数与在上单调递减，所以在上单调递减．又，，所以，使得．当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，则为唯一的极大值点，故在区间上存在唯一的极大值点．（2）将定义域分成四个区间：，进行函数单调性和函数零点存在性的讨论．当时，在上单调递减，存在唯一零点．当时，由（1）知在内存在唯一极大值点，故引入对极值点和零点进行虚设，这种隐零点的使用是对考生数学抽象能力运用在具体题目中的进一步考验．在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上单调递增，此时，不存在零点．又因为，所以，使得，所以在上单调递增，在上单调递减．又因为，，所以在上恒成立，此时不存在零点．故当时，，从而在上不存在零点．当时，在上单调递减，，所以在存在唯一零点．当时，，所以在没有零点．综上，有且仅有2个零点．点评本题主要考查导数在函数中的应用，考查考生基础性、综合性、应用性、创新性四个关键能力，同时，对考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析六个核心素养要求较高，利用导数判断函数的单调性、求解极值和零点问题，重点考查等价转化思想和分类讨论思想．对函数多次求导将极值问题转化成零点问题，需要较强的逻辑推理能力，实质上极值点也是一类零点问题．零点问题主要有四类：零点存在性问题、零点个数问题、零点求解问题、零点应用问题，在求解零点过程中无法具体解得零点时，考生应该引入隐零点，隐零点一般采用设而不求的策略，可以虚设零点，估算零点位置，进而运用代换转化、参数分离、放缩等方法解决问题．2三角函数和对数函数结合中含有参数的极值与隐零点问题例2已知函数．若在上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．解析由题知（如图2甲所示），（如图2乙所示）．当时，无极值点．当时，设，则（如图2丙所示）．由于，故，使得，即，故．因为，所以，无极值点．当时，无极值点．当时，易知．因为在上有且仅有1个极值点，所以，即，故a的取值范围为．点评本题重点考查三角函数的单调性、有界性、周期性、特殊点和放缩法，先结合参数范围确定单调性，再进行分类讨论．关键是分析函数在内的单调性，通过二次求导得到，然后代入，通过的放缩，确定此区间内无极值点，结合范围进行适当放缩是解决三角函数型导数问题的必要方法，一些结论需要先证后用，对逻辑推理思维能力有较高要求．隐零点的运用要注重三个步骤：1）根据已知条件确定零点的存在范围；2）根据零点的意义进行代数式的替换；3）结合前两步确定目标函数的范围．最后，结合零点存在性定理得到最终结果．3三角函数和指数函数结合的不等式与隐零点问题例3已知函数，当时，求证：对任意的，都有．解析因为（如图3甲所示），所以（如图3乙所示）．设，则（如图3丙所示）．当时，单调递增；当时，单调递减．因为，，所以，使得．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减．因为，所以当时，对任意的，都有．点评本题是指数函数和三角函数的综合问题，根据型函数的特点，利用其性质、范围、导数等优化函数表达式．同时在已知参数范围的前提下，利用参数边界的特点确定不等式的范围，达到消参或者放缩不等式的目标．运算过程中对结果的估算也是必不可少的，估算可以减少不必要的计算过程，在解题过程中需要使