第18讲妙用正余弦定理解决三角形或多边形问题

第18讲妙用正余弦定理解决三角形或多边形问题【典型例题】例1．（2022春•天津期中）如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，，则A． B． C． D．【解析】解：由题意知，，在中，由余弦定理知，，，而，，在中，由余弦定理知，．故选：．例2．（2022•郑州模拟）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，，满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为A． B． C． D．【解析】解：过作，过作，如图所示，故，易知为等腰直角三角形，所以，所以，因为，所以，在△中，由正弦定理可得，，故，所以．故选：．例3．（2022秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3 B．4 C． D．【解析】解：设，，则．由正弦定理得，所以由余弦定理得故当时，取得最大值为．故选：．例4．（2022•浙江）在中，，，是的中点，，则；．【解析】解：在中：，，，解得：或（舍去）．点是中点，，，在中：，；在中：．故答案为：；．例5．（2022春•舟山期末）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则，点为边上一点，且，则的面积为．【解析】解：因为，，，由正弦定理可得，，所以，则；，，由余弦定理可得，，解可得（舍或，所以，．故答案为：，10．例6．记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．（1）证明：；（2）若，求．【解析】解：（1）证明：由正弦定理知，，，，，，即，，；（2）法一：由（1）知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，（舍；当时，；综上所述，．法二：点在边上且，，，而由（1）知，，即，由余弦定理知：，，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，（舍；当时，；综上所述，．法三：在中，由正弦定理可知，而由题意可知，于是，从而或．若，则，于是，无法构成三角形，不合题意．若，则，于是，满足题意，因此由余弦定理可得．例7．（2022•佛山模拟）在中，角，，所对的边长分别为，，，若，．（1）若，求的值；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1），且，，由正弦定理知，，又，，，，由余弦定理知，．（2），，最大的边为，即最大的角为，由余弦定理知，，，解得，故正整数可以为1，2，3，当时，，，此时，不能构成三角形，不符合题意；当时，，，可以构成三角形；当时，，，可以构成三角形，故或3．例8．（2022•北京模拟）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求．如图，在平面四边形中，，，______，，求．【解析】解：选择①面积，，，所以．故，解得则：，解得：．故答案为：①面积．选择②设，则，，在中，即，所以在中，，即，所以．所以，解得，又，所以，所以．例9．（2022•光明区校级模拟）如图，在梯形中，，，，．（1）若，求梯形的面积；（2）若，求．【解析】解：（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得，所以，则，因为，所以，所以；（2）设，则，，，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，两式相除可得，展开可得，所以可得，即，解得或，又因为，，所以，即．【同步练习】一．选择题1．（2022秋•盱眙县校级月考）在平面四边形中，，，，则四边形面积的最大值为A． B． C． D．【解析】解：如图所示，，，，连接，设，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，联立可得，①又四边形面积，即，②①②可得：可得，整理可得：，所以当时，的最大值为，可得的最大值为．故选：．2．（2022秋•烟台期末）右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以为圆心，以为半径，为公园入口，道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸，，，现计划从处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：A． B． C． D．【解析】解：如图所示，当与圆相切时，新路的长度最小，记切点为，，连接，，，．由题意可知，，，，，则，解得，，则．故选：．3．（2022秋•九龙坡区期中）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，，，则对角线的长为A． B． C． D．【解析】解：设，，则．由正弦定理，得，所以由余弦定理得，所以．故选：．二．多选题4．（2022春•沈河区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则的面积的最大值为 C．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为， D．若，且，则为直角三角形【解析】解：因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以．选项：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项错误；选项：若，则，又因为，所以由余弦定理，得，即，所以，所以，所以当时，取最大值，且最大值为，所以选项正确；选项：由正弦定理，得，即，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，，故选项正确：选项：因为，所以，因为，所以，所以由正弦定理，得，即．所以，即．所以，所以，又因为，所以，，，，，即是直角三角形，选项正确．故选：．5．（2022秋•宁德月考）如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是A．图1菱形面积的最大值为100 B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为 C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12 D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为20【解析】解：因为直角三角形的斜边长为10，设小边所对的角为，则直角三角形的两个直角边长为，，所以图1菱形面积，故正确；图1菱形的两条对角线之和为，故错误；当图2小正方形的边长为2时，令长直角边为，短直角边为，可得，，解得，，可得图1菱形的一条对角线长为12，一条对角线为16，故正确；当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，令长直角边为，短直角边为，由余弦定理可得，解得，，可得图2小正方形的面积，故正确．故选：．三．填空题6．（2022春•嘉祥县校级月考）如图，设的内角、、的对边分别为，，，，且．若点是外一点，，，则当时，四边形的面积的最大值为．【解析】解：，，即，由，可得，，又，，等边中，设，，在中，由余弦定理可得：，由于，，代入上式可得：，，四边形面积的最大值为，此时，．故答案为：，．7．（2022秋•开福区校级月考）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100，由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为373（四舍五入到整数）．参考数据：．【解析】解：过作于，过作于，故，由题易知为等腰直角三角形，所以，所以，因为，所以，在△中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故答案为：373．8．（2022秋•江苏月考）如图，在四边形中，，，，，是的角平分线，则．【解析】解：是的角平分线，，，由余弦定理，有，，又，，，，，易得，，由余弦定理，有．故答案为：．9．（2022•定海区校级模拟）已知中，，则的最大值为，最小值为．【解析】解：因为，所以由正弦定理可得，又因为，代入可得，则，故，且等号成立的条件是，解得，，所以，，所以最大值为，最小值为．故答案为：，．四．解答题10．（2022•鼓楼区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积．（1）证明：；（2）求．【解析】（1）证明：由，可设，，，所以，即，所以，即，因为的面积，所以，故，即．（2）解：在中，由余弦定理知，，同理可得，，因为，所以，即，所以，所以，即或，由（1）知，所以或，在中，由余弦定理知，，当，即时，，当，即时，，综上所述，或．11．（2022•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1），根据正弦定理可得，，，，，，在中，运用余弦定理可得，，，．（2），为钝角三角形时，角必为钝角，，，，，三角形的任意两边之和大于第三边，，即，即，，为正整数，．12．（2022秋•香坊区校级月考）在梯形中，已知，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．【解析】解：（1），在中，由正弦定理得即解得；（2），，在中，由余弦定理得即解得或（舍．13．（2022春•淮安期中）如图，在梯形中，已知，，，，．（1）求；（2）求的长；（3）求的面积．【解析】解：（1），，，．（2）在中，由正弦定理得，，即，解得．（3），，，，在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍，故．14．（2022•让胡路区校级二模）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为．【解析】解：（1）在中，由及得，所以或，又，若，则，此时，故舍去，所以．（2）选①，由正弦定理结合（1）可知，，即，与矛盾，故这样的不存在；选②，由可得，可设，易得，解得，则，设中点为，在中，，解得；选③，由（1）可得，故，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．15．（2022春•浦东新区校级期末）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群汉子在一大块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块呈凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示．为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，．（1）霍尔顿发现无论边多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．【解析】解：（1）在中，，在中，，，则，为定值；（2）．等号成立时．的最大值为14．16．如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，求．【解析】解：（1），，，由余弦定理可得，，，，，或（舍，．（2）设，则，，在中，，即，．在中，，即，．由．解得，又，，．17．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】解：（1），，．，化为：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，为钝角，，都为锐角，．，，当且仅当时取等号．的最小值为．18．（2022•长沙县校级开学）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．（1）求的值；（2）若的平分线交于点，求．【解析】解：（1），，，又，，由正弦定理可得：；（2）由（1）知，又的平分线交于点，，又，在与中由余弦定理可得：，化简得，，，．19．（2022•南京模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）若，求符合条件的的最小值．【解析】解：（1），即，，，两边平方得，即，，，，，，．（2）由（1）可得，，则，则，，，由得，，设，则，，当且仅当时，等号成立，故符合条件的的最小值为．20．（2022春•思明区校级月考）如图，平面四边形中，，______，，从①面积，②，这两个条件中任选一个，补充在上面横线上并求出．（附注：未注明选项则默认选①【解析】解：选择①：因为，所以，在中，由余弦定理得，，所以．选择②：设，则，且，在中，由正弦定理得，，即，所以，在中，由正弦定理得，，即，所以，所以，整理得，又，且，所以，所以．21．（2022•成武县校级模拟）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在中，角，，的对边分别为，，，已知______，．（1）求；（2）如图，为边上一点，．，求的面积．【解析】解：若选择条件①，则：（1）在中，由正弦定理可得，因为，所以，可得，所以，因为，所以．（2）设，易知，在中，由余弦定理可得，解得，所以，在中，，，，所以，所以，所以．若选择②，则：（1）因为，所以，由正弦定理可得，因为，所以，，因为，可得，则，所以．（2）同选择①．22．（2022春•惠州月考）已知条件①面积，条件②；请从上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．如图，在平面四边形中，，，___，，，求．【解析】解：若选①面积，，，则，所以，所以，中，由余弦定理可得，，所以；若选条件②，，，，，设，则，，中，由正弦定理得，，所以，中，同理得，所以，所以，由得，所以．23．（2022春•张家界期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，．（1）求及的面积；（2）若为边上一点，且，______，求的正弦值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．【解析】