3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法，并与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分.(难点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.(难点)

双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课我们来研究双曲线.我们知道,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们借助信息技术进行探究.探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内,取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.F1.F2..

探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内,取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆..情景1:当点

P在线段AB上运动时

F1F2..

探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内,取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆..情景2：当点P在线段AB外运动时F1F2..

双曲线

类比思想椭圆双曲线两定点、两定点、||MF1|-|MF2||=常数|MF1|+|MF2|=常数平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．概念生成双曲线定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．一般用2a表示一般用2c表示2FF1M符号表述：

F1F2MF1F2M2.若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？3.若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？4.若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2MF1F2M概念辨析：定义中有哪些关键词？小试牛刀1.已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3时，P点的轨迹为(

)A．双曲线B．一条射线C．双曲线的一支D．轨迹不存在[变式1]当a＝5时，P点的轨迹为？[变式2]动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，则当a＝3或5时，P点的轨迹为？当a＝3时，是双曲线；当a=5时，是以F1或F2为端点的两条射线以F2为端点的一条射线探究

类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？

设M(x,y)

是双曲线上任意一点

双曲线的焦距为2c（c>0)，则有F1(-c,0)

,F2(c,0).

F1F2MxyO我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系

(如图).由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：①建系②设点建系设点限式代入化简③限式(1)④代入⑤化简将方程(1)左边的一个根式移到右边，得(2)对方程(2)两边平方，得整理，得(3)对方程(3)两边平方，得对方程(3)两边平方，得整理，得两边同时除于

，得由双曲线的定义知，即所以类比椭圆标准方程的建立，令其中，代入上式，得

我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0,-c),F2(0,c)的双曲线，这里c2=a2+b2.

类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？思考小试牛刀2.下列哪些方程是双曲线的方程？双曲线标准方程的特征相同点不同点方程等号左边是平方差的形式，右边是1；②a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2,

其中c最大；

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.化为标准方程，焦点跟着正项走归纳总结定义焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像方程焦点坐标焦点位置判断a,b,c的关系a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大||MF1|－|MF2||=2a(2a<2c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)化为标准方程，焦点跟着正项走双曲线知识归纳例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为所以双曲线的标准方程为例题讲解变式训练3.求焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5)的双曲线的标准方程。解（待定系数法）:∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为是否还有其他方法求双曲线标准方程的步骤和方法(1)步骤：①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.②定量：是指确定

的数值，常由条件列方程组求解.(2)方法：①定义法：根据双曲线的定义得到相应的

，再写出双曲线的标准方程.②待定系数法：先设出双曲线的标准方程

或者

然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.归纳总结

l分析：因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上.解如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，设炮弹爆炸点P的坐标为（x，y），则

例题讲解利用定义法求轨迹方程的一般步骤1.建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件.2.依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状.3.确定曲线方程中的参数并直接写出方程.4.验证所求方程（检查是否有要去掉的点）.归纳总结变式训练

椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,