3.1.2函数的表示法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1课时函数的表示法课标阐释1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式.(数学运算)2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.(数学抽象)3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.(直观想象)思维脉络[激趣诱思](1)已建成的京沪高速铁路总长约1318千米,设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.(2)如图是1950—1990年我国人口出生率变化曲线:(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:问题:根据初中学过的知识,说出(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的?污染源距离/m50100200300500氰化物浓度/(mg·m-3)0.6780.3980.1210.050.01[知识点拨]知识点:函数的表示方法

名师点析

函数的三种表示方法的优缺点

表示方法优

点缺

点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来微练习购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域.解

(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.(列表法)x1234y2468(图象法)该函数的值域为{2,4,6,8}.探究一列表法表示函数例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))=

;当g(f(x))=2时,x=

.

分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.答案

1

1解析

由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.要点笔记

列表法表示函数的关注点列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是自变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.延伸探究

在本例已知条件下,g(f(1))=

;当f(g(x))=2时,x=

.

答案

2

3解析

∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.探究二求函数的解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法1)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法2)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.探究三函数的图象及应用例3作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图1),由图象知,y∈Z.(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图2),由图象知,y∈[-5,3).变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞).解

(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.由图可知,函数的值域为[1,5].

素养形成平面几何中的函数问题典例

如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数解析式,并画出函数的图象.【规范答题】解

由题意,得△CQB∽△BAP,变式训练已知一个面积为100cm2的等腰梯形,上底长为xcm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为(

)答案

C

当堂检测1.将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为(

)A.R

B.{x|x>0}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}答案

D2.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为(

)A.f(x)=-x B.f(x)=x-1C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1答案

D所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.3.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(

)答案

C解析

因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.4.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:x01-1f(x)10-1x01-1g(x)-101则g(f(g(-1)))的值为(

)A.1 B.0C.-1 D.无法确定答案

C解析

g(-1)=1,则f(g(-1))=f(1)=0,则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.5.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是

.

答案

f(x)=3x+2解析

f(3x+2)=9x+8,设t=3x+2,代入得到f(t)=3t+2.故f(x)的解析式是f(x)=3x+2.第2课时分段函数课标阐释思维脉络1.了解分段函数的概念.(数学抽象)2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.(直观想象)3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.(逻辑推理)[激趣诱思]某村电费收取有以下两种方案供村民选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30千瓦时时,每千瓦时0.5元,超过30千瓦时时,超过部分按每千瓦时0.6元收取.方案二:不收管理费,每千瓦时按0.58元收取.问题:(1)求方案一中电费L(x)(单位:元)与用电量x(单位:千瓦时)之间的函数解析式.(2)老王家9月份按方案一缴纳电费35元,问老王家该月用电多少千瓦时?(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二省钱?[知识点拨]知识点:分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.名师点析

学习分段函数应注意(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到,做到不重复、不遗漏.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.微练习(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解

(1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,∴a=2.②当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4.综上可知,a=-4或a=2.探究一分段函数的求值延伸探究

在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.探究二分段函数的图象例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.反思感悟

分段函数图象的关注点(1)因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.变式训练1已知函数f(x)=|x-1|-2.(1)用分段函数的形式表示f(x);(2)画出f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域.解

(1)当x≥1时,f(x)=|x-1|-2=x-3;当x<1时,f(x)=|x-1|-2=-x-1.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,(3)由图可知函数的值域为[-2,+∞).探究三根据分段函数图象求解析式例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为

.

解析

根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3).综上可知,所求函变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为

.

探究四分段函数在实际中的应用例4如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为2cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x(x>0),(1)试写出直线l左边部分的面积f(x)与x的函数.(2)已知A={x|f(x)<4},求满足集合A的x的取值范围.变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点,求票价y(单位:元)关于里程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象.解

根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}.由空调汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式:

(x∈N*).根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.

素养形成关于