1.1.1 集合的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念情境导入情景：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.

康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？问：我们初中接触了哪些集合？①.不等式的集合：②.自然数的集合；有理数的集合④.到一条线段的两个端点距离相等的点的集合③.平面上到定点的距离等于定长的所有的点.（圆）（线段的垂直平分线）情境导入知识探究（一）：集合的含义看下面例子：（1）1～10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线L的距离等于定长d的所有点；（5）方程

的所有实数根；（6）地球上的四大洋；

上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.

思考1:上述6个集合中的元素分别是什么？集合的含义

思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？

把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；

把一些指定元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.

思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？元素：人，事物，点，数等即可有限集也可无限集思考4：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.知识探究（二）:元素的特征

任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素必须是确定的（确定性）

思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？集合中的元素是不重复出现的（互异性）

思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的（无序性）两集合相等：构成两个集合的元素一样知识探究（三）：集合与元素的关系

思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？

思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？

思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a属于集合A，记作

思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a不属于集合A，记作思考5：任意一个元素与任意一个集合的关系

属于或不属于这两种关系知识探究（四）常用数集的符号表示：自然数集（非负整数集）：记作

N整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R正整数集：记作或例：①.集合A有元素,,1,且，求的值②.若1,0，x是集合A的元素，且，求的值③.写出方程解的集合④.已知有三实数组成一集合，求应满足的条件问题提出

用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2为半径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？(二)集合的表示方法①.不等式的集合：②.到一条线段的两个端点距离相等的点的集合③.全体非负整数组成的集合称为非负数集......

可以用自然语言描述一个集合列举法考察下列集合：（1）小于5的所有自然数组成的集合；（1）我们可以把“小于5的所有自然数组成的集合”表示为：（2）方程的所有实数根组成的集合.（2）方程的所有实数根组成的集合表示为：（3）"地球上的四大洋"组成的集合；（3）"地球上的四大洋"组成的集合表示为;分析：列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，即表示集合的方法注意：①.元素间用“，”隔开②.元素不重复，无顺序③.可以表示有限集也可表示无限集（无限集时：元素有一定规律，不发生误解时可用）说明：“{}”是集合的身份证，就有全体的意思如{全体实数}

例1用列举法表示下列集合：；

（2）方程的所有实数根组成的集合.

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）由点组成的集合；（6）我国现有直辖市的全体；（5）方程组的解集；解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝列举法的适用范围：

有限集：元素不多

无限集或元素较多：元素有规律性，不发生误解描述法

思考：能否用列举法表示下列集合

（2）绝对值小于2的实数组成的集合.

（1）不等式的解集；

发现：集合中的元素例举不完的，且无规律可寻，故无法用例举法表示.但可以用集合中元素所具有的共同特征来描述

如（1）不等式的解集中所含元素的共同特征是：

所以这个集合表示为:

描述法用集合所含元素的共同特征（性质，属性）表示集合的方法称为描述法；

具体办法：

代表元素的范围：不写时默认为实数R,但当为

等时必写代表元素:数，有序实数对，集合....等其他形式描述法的适用范围：无限集

例2.

用描述法表示下列集合：

（2）方程的所有实数根组成的集合.（4）方程组的解集；（1）不等式的解集；（3）二次函数图像上所有点组成的集合（3）方程的所有实数根组成的集合.（5）方程组的解集；

回头看：

解：设所求集合为Ａ，用描述法表示为

用列举法表示为

用列举法表示为

例3.用适当地方法表示下列集合（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆周上的点组成的集合；（3）所有奇数组成的集合；（4）比5大3的数；（5）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.{123，132，213，231，312，321}.

对比描述法与例举法：

一般地例举法:

描述法:无限集

无限集或元素较多：元素有规律性，不发生误解

有限集：元素不多

思考①.a与{a}的含义是否相同？②.集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？③.是否表示同一个集合？①.不同不同是④.思考⑤:集合