2024届高考数学考点对称问题及其应用专题练习

2024届高考数学考点对称问题及其应用专题练习

一、单选题（共6分）

1.直线/与匕关于点（1,一1）成中心对称，若2的方程是2x+3y—6=0,则乙的方程是（）

A.2x+3y+8=0B.2x+3y+7=0

C.3x—2y-12=0D.3x-2y+2=0

【答案】A

【分析】

设，i上任一点的坐标为（x,y）,它关于点（1,一1）的对称点的坐标为（2-％-2-丫），将点代入直线

方程计算即可.

【详解】

设匕上任一点的坐标为Q,y）,它关于点（1,一1）的对称点的坐标为（2-匕-2-y）,

故有2（2一%）+3（-2-y）-6=0,即2%+3y+8=0.

故选：A

2.在平面直角坐标系xQy中，若圆1产=4上存在A,3两点关于点P（l,2）成中心对称，则

直线A6的方程为（）

A.x—y—3=（）Bu+y—3=0

C.x+y—1=0D.x—y+1=0

【答案】B

丽］

由题意得圆心（0,1）与点/（1,2）的连线垂直于直线A&所以心夕旦=一1,解得心8=—1.而直线

AB过点P,所以直线A8的方程为＞一2=一。-1）,即入+），-3=0.选B.

3.与直线2%+3y-6=0关于点（L-1）对称的直线方程是（）

A.3x—2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x—2y-12=0D.2x+3y+8=0

【答案】D

【分析】

设对称的直线方程上的一点的包标为(x，y),则其关于点(1,-1)对称的点的坐标为(2-%-2-

y),代入已知直线即可求得结果.

丽］

解析：

设对称的直线方程上的一点的些标为(x，y)则其关于点(1,-1)对称的点的坐标为(2-％-2-

y),以(2-x,-2-y)代换原直线方程中的(x,y)得2(2-X)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+

8=0.

古嫡:D.

【点睛】

本题考查了直线关于点的对称直线问题，一般转化为点关于点的对称点问题解决，属于基础题.

二、填空题(共2分)

4.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点Q,l)对称的直线方程是_______.

【答案】y=2x-3

【分析】

首先在直线y=2%+1上任取两个点4(0,1),B(l,3),分别求出两点关于(1,1)的对称点M,N的

坐标，再用两点式即可求出对称的直线方程.

丽］

在直线y=2%+1上任取两个点4(0,1),8(1,3),

则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,l),

点B关于点(1,1)对称的点为N(l,-1).

由两点式求出对称直线MN的方程为宏=分，即y=2%-3.

1+1Z—1

故答案为：y=2%-3

【点睛】

本题主要考查直线关于点的对称问题，同时考查了点关于点的对称问题，属于简单题.

三、单选题(共10分)

5.直线x-2y+l=0关于直线x=l对称的直线方程是()

A.x+2y—1=0B.2x+y-1=0

C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0

【答案】D

【分析】

设所求直线上任一点(x,y),关于x=l的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直

线方程.

【髓］

设所求直线上任一点(x,y),则它关于％=1对称点为(2-x,y)在直线x-2y+1=0上，

：.2-x-2y+l=0化简得x+2y-3=0故选答案D.

故选D.

【点睛】

本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题.

6.直线y=2%关于x轴对称的直线方程为()

A.y=一；xB.y=C.y=-2xD.y=2x

【答案】C

【分析】

设点，求出对称点，得出关系.

丽］

设为直线y=2x关于x轴对称的直线方程上任意一点，则

M(%y)关于x轴对称的点M］(x,-y)在直线y=2%上，

即有'满足直线y=2%方程，

即，—y=2%化简得，y=—2%.

故选：C.

7.已知点4(一1,2),P(0,a),若直线4R关于y=a的对称直线/与圆C(x+2)2+于=1a相切，

则Q=()

A.3B.3V2C.9D.3或9

【答案】D

【分析】

结合题意得对称直线I为y=-缶-2)%+%再结合点到直线的距离求解即可.

丽］

解：■:kAB=。-2,

；・直线AB关于直线y=Q的对称直线I为y=—(a-2)x+a,

即(a—2)x+y—Q=0,

圆C:(x+3)2+y2=18的圆心C(一3,0),半径r=3遮，

由d=l-yI=3夜,得Q=3,或Q=9.

7(a-2)2+l

故选：D.

8.与圆C：/+y2+4%_6y+9=0关于直线％-y4-1=0对称的圆的方程为()

A.(x—2)2+(y—l)2=4B.(%—3)2+(y+2)2=4

C.(%—2)2+(y+1)2=4D.(%+3)24-(y-2)2=4

【答案】C

【分析】

先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程

求出圆心坐标即可.

丽］

圆G/+、2+4万—6)7+9=0的圆心。(一2,3),半径丁=2.

设点C(一2,3)关于直线％-y+1=0的对称点为C'(%,%),

2x]=T=4%。=2

XQ+2

沏-2_y（）+3+1=0N。=T，

.22

所以圆C关于直线x—y+1=0的对称圆的方程为(％-2i2+(y+I)2=4,

故选:C.

9.已知圆G：/+y2=Q关于直线/对称的圆为圆。2：%2+y2+2%—2ay4-3=0,则直线/的方

程为

A.2x—4y+5=0B.2x+4y+5=0C.2x—4y-5=0D.2x+4y-5=0

【答案】A

【分析】

根据对称性，求得Q=2,求得圆的圆心坐标，再根据直线/为线段C1C2的垂直平分线，求得直

线［的斜率，即可求解，得到答案.

G锵］

由题意，圆的方程％2+y2+2x-2ay+3=0,可化为（％+l）2+（y-a）2=a2-2,

根据对称性，可得：a=a2-2,解得：。=2或。=-1（舍去，此时半径的平方小于0,不符合

题意），

此时G（0,0）,C2（-l,2）,直线GC2的斜率为：七©=三=一2,

由圆G和圆C2关于直线/对称可知：直线/为线段GC2的垂直平分线，

所以keg•险=-1，解得/=%直线/又经过线段GC2的中点（一31），

所以直线/的方程为：y-l=；（%+},化简得：2x-4y+5=0,

故选A

【点睛】

本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性

是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

四、填空题（共6分）

10.已知点41，3）关于直线片依+6对称的点是夕-2,1）,则直线y=kx+6在x轴上的截

5

葡-

6

【分析】

由已知得直线AB与直线y=布+6垂直，且线段的中点（后,2）在直线%依+。上，建立方

程组，求得4,6从而可求得直线在x轴上的截距.

［臃］

由题意得直线4B与直线y=履+6垂直，且线段/8的中点（-9，2）在直线y=依+b上，

4

365

---

解得〃=24

所以直线方程为7=-*令0,即.|x+：=0,解得x=，故直线y=取+6在x轴上的

截距为*

故答案为：5

O

11.点P(a,b)与点Q(b-1,Q+1)是轴对称的两点，则对称轴方程为

【答案】x-y4-1=0

【分析】

根据已知求出/CPQ,根据对称轴与PQ垂直求出对称轴所在直线的斜率，再由PQ的中点在对称轴

上即可求出对称轴的方程.

丽］

解：由题意知，对称轴方程为线段PQ的垂直平分线.因为"=中=-1，所以对称轴所在直

yD-1-a

线斜率为1.又线段PQ的中点(竺尸，哼i)在对称轴上，所以对称轴方程为：y-亨=x-

"即x-y+l=0.

2

故答案为：x-y+1=0.

【点睛】

本题考查直线方程的表示以及两直线垂直的条件，属于基础题.

12.将一张坐标纸折叠一次，使得点(一3,4)与点(—4,a)重合，点(—1,2)与点(一2《)重合，则Q-

b=.

【答案】1

【分析】

根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行

求解即可.

丽］

设点(一3,4)为点A,点(―4,Q)为点B,所以线段的中点为E

设点(—1,2)为点C,设点(—2,乡为点。，所以线段CO的中点为F

由题总可知攵48=kcD，册尸,f^AB=-1

fj=JZL

于是有:a+4V32+1=Q—8=1,

故答案为：1

【点睛】

关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.

五、解答题(共4分)

13.己知圆％2+y2=4与圆/+y2+4%-4y+4=0关于直线/对称，求直线/的方程.

【答案】汽-y+2=0

【分析】

求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线/斜率，从而求得

直线/的方程.

［臃］

解：圆G：%2+y2=4,圆心为G(0,0),半径r1=2

圆C2：/+y2+4x—4y+4=0,经整理为0+2)2+(y—2)2=4,其圆心为c2(-2,2),半径

r2=2；

故C£中点为C(-1,1),

而—2==-L

由对称性知砥/QC2=-1，

:.kt=1

•••/:y—1=x+1

即直线/的方程为％—y+2=0.

14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABC。的长为2,宽为1,A8,AO边分别在x轴、y轴的正

半轴上，点A与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点4落在线段OC上.

p1

D--------->C

~~O（A）Bx

（1）若折痕所在直线的斜率为上试求折痕所在直线的方程；

（2）当一2+百<左<0时，求折痕长的最大值.

【答案】（1）y=kx+g+g；（2）2（V6—V2）.

【分析】

（1）当々=0时，此时A点与。点重合，折痕所在的直线方程y=3.当k=0时，将矩形折叠后4点

落在线段。。上的点记为G（a,1）,可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有k°G,k=-l,解

得。=-此故G点坐标为G（-匕1）,从而折痕所在的直线与。G的交点坐标即线段。G的中点为

M（-93'即可得出.

（2）当々=0时，折痕长为2.当一2+机工kvO时，折痕所在直线交BC于（2,2/<+y+1）,交），

轴于Q（0,竽）.利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出.

G锵］

解：（1）①当k=0时，此时点A与点。重合，折痕所在直线的方程为丫=点

②当kHO时，将矩形折叠后点A落在线段。C上的点记为G（a,l）,0<a<2,

所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有k（）G•々=-l=?k=-l=Q=-k,

故点G的坐标为（一死1）,

从而折痕所在的直线与OG的交点（线段OG的中点）为尸（-与，3，

故折痕所在直线的方程为y-1=/c（x+0,即y=kx+?+也

综上所述，折痕所在直线的方程为y=k%+9+点

（2）当k=0时，折痕的长为2;

当一2+V5W/CV0时，折痕所在的直线交直线于点M02攵+9+3，交y轴于点

N（0,阴.

v0<k2<（-2+V3）2=7-4凤.TV字<5^=2（2-V3）<2x[=1,则N在A0上，

v（）2-2+V3<fc<0,

2k+-2+2-=2-、k+27--2t

2攵+?+：的取值范围为。，

故点M在线段BC上.

2

V\MN\2=22+-（2/c+y+I）]=4+4/C2<4+4X（7-4\/3）=32-16通，

••・折痕长度的最大值为J32-16也=2（V6-V2）.

而2（75-a）>2,故折痕长度的最大值为2（巡-0）.

【点睛】

思路点睛：关于折叠问题可转化为轴对称问题，利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的

关系

六、单选题（共4分）

15.已知椭圆Cm+[=1（a>b>0）,过点（一见0）且方向向量为元=（1,一1）的光线，经直

线y=—匕反射后过C的右焦点，则。的离心率为（）

»302「3n4

A.-5B.-3C.-4D.-5

【答案】A

【分析】

设过点/（—a,0）且方向向量为元=（L—1）的光线，经直线y=—b的点为B,右焦点为C,根据方

向向量祐=（1,一1）的直线斜率为一1,结合反射的性质可得4B1BC,再结合等腰直角三角形的性

质列式求解即可.

丽］

设过点4(一。,0)且方向向量为记=(1,一1)的光线，经直线y=—b的点为B,右焦点为C

因为方向向量元=(1,一1)的直线斜率为一1,则4C4B=45。，kAB=-l,又由反射光的性质可得

kBC=l,故ABJL8C,所以△ABC为等腰直角三角形，且B到力C的距离为从又AC=C+Q,故

a+c=2b,a2+c2+2ac=4b2=4(a2—c2),则(3Q-5C)(Q+c)=0,故3Q=5c,离心率

C3

"=；=5-

故选：A

16加图，在直角坐标系中，三角形48C的顶点坐标分别为4(0,遍)、8(-1,0)、C(l,0),。为原

点，从。点出发的光线先经AC上的点Pi反射到边A8上，再由A8上的点Pz反射回到8c边上的

D.[V3,2A/3]

【分析】

入射角等于反射角，把△ABC以4C为轴进行翻折，使点B落到反，再以A夕为轴，把△AC夕进行

翻折，使点。落到由光的反射原理得光线。A的斜率满足岫出工上。44k0c，，根据△48。为

等边三角形得出"(2,b),C'(1,2V5),利用两点求斜率即可求解.

［臃］

・•・入射角等于反射角，

.•・把以48。以AC为轴进行翻折，使点8落到夕，

再以4夕为轴，把△4C夕进行翻折，使点C落到U,如图：

y

BP3o-c；

由光的反射原理,若k()P]V攵08,或lop1>k℃，，

则光线反射到边4c后不会反射到边48上，

・•・光线OPi的斜率满足跖8,Wk0Pi<k℃，，

•・T(O,V5),B(_LO),C(I,O),

\AB\=V3TI=2,MCI=y/m=2,|BC|=1-(-1)=2,

•••△SBC是等边三角形，

由翻折可得B'(2,b),C〈l,2网，

・•・直线OB，的斜率嚷，=今

直线。U的斜率koc，=平=2V5,

•••光线”1的斜率的范围为停,2网.

故选：A

七、多选题(共2分)

17.(多选题)光线自点(2,4)射入,经倾斜角为135。的直线，:y=kx+l反射后经过点(5,0),则

反射光线还经过下列哪个点()

A.(14,2)C.(13,2)D.(13,l)

【答案】BD

【分析】

求出点(2,4)关于直线1的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点

是否在反射光线所在直线上，曰此可得出合适的选项.

[l¥Ml

因为直线，的倾斜角为135。，所以直线/的斜率为k=-1,

设点(2,4)关于直线上y=-x4-1的对称点为(初九)，

(—=1_

则比二记，解得

(2一2

所以，反射光线经过点(-3,-1)和点(5,0),反射光线所在直线的斜率为三胃=}

-3-58

则反射光线所在直线的方程为7=；(%-5),

当x=14时，y=；；当x=13时，y=1.

8

故选：BD.

【点睛】

结论点睛：若点PO1，%)与点「2(%2，乃)关于直线上Ax+By+C=0对称，由方程组

。•山+B・5+。=0

jy2.y2(i可得到点Pl关于直线1的对称点P2的坐标(不/2)(其中8工0,与工

(X2-X1

%2).

八、填空题(共10分)

18.已知/(一1,3),B(3,l),从点(科2)处射出的光线经x轴反射后，反射光线与4B平行，且点5

到该反射光线的距离为遮，则实数6=.

【答案】4或14

【分析】

根据平行线的性质设出反射光线的方程，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】

因为他8==一j故可设反射光线的方程为x+2y+C=0,

-1-32

因为8到该直线的距离为遥，故邑等=遍，解得c=o或一io.

V5

当C=0时，反射光线的方程为x+2y=0,

点(优,2)关于"由对称的点坐标为(成-2),显然点(m,-2)在反射光线上，

把点(m,-2)代入方程得m-4=0,故m=4；

当。二一10时，反射光线的方程为x+2y-10=0,

将点(g—2)代入方程解得771=14.综上，m=4或14.

故答案为：4或14

19.从点P(2,3)射出两条光线的方程分别为：。:4%-3丫+1=0和。：3%-4>+6=0,经x轴反

射后都与圆(x-+(y-b)2=1相切，则圆的方程为.

【答案】(%+3)2+(y-2)2=1

【分析】

分别求出，］和。的对称直线，利用直线与圆相切列方程求巴见人即可求出圆的方程.

设，1：4%-3y+1=0关于％轴的对称直线为

则点P(2,3)关于x轴的对称点叫2,-3)必在”上.

又Zi：4x-3y+1=0与x轴的交点Q(-；,0)在］上，所以由两点式求得L:4%+3y4-1=0.

同理%：3%-4y+6=0关于％轴的对称直线％'：3x+4y+6=0

因为：和%,均与圆Q-a)2+(y-b)2=1相切,

|4a+3D+l|

1

所以,且圆在X轴上方,

|3。+4匕+6|

V4^b321

a=-3,b=2,.,.所求圆的方程为(x+3产+(y—2)2=1.

故答案为：(x+3)2+(y—2)2=1.

20.已知从点A(3,2)发出一条光线，经过大轴反射到点B(-1,3),则光线经过的路程的长

度为

【答案】V41

【分析】

先求出点4(3,2)关于x轴的对称点为C(3,-2),由两点间距离公式求出|8C|,即可得到

答案.

丽］

解：因为点4(3,2)关于•久轴的对称点为。(3,-2),

由光线的对称性可知，光线经过的路程即线段BC的长度，

因为|BC|=V(3+l)2+(-2-3)2=同，

所以光线经过的路程的长度为同.

故答案为：V4T

21.一条光线从点P(l,l)射出，被刀轴反射后经过圆/+丫2-4丫+3=0的圆心。，则入射光线所

在的直线方程为.

【答案】3x-y-2=0

【分析】

求出圆心，反射光线的斜率，进而求出入射光线的斜率，点斜式求出入射光线的方程.

【的

[tlx2+y?-4y+3=0,得标+(y-2)2=1,,,.圆心C(0,2),

设点P(l,l)关于x轴的对称点为点Q,则Q(L-l)，

反射光线CQ的斜率为上=会=-3,所以入射光线的斜率为3,

1—0

•••入射光线的方程为：y-l=3(x-l),即为3x-y-2=0.

故答案为：3x—y—2=0.

22.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经入轴反射后与圆/+y2=i相切,贝M的值为.

【答案】*

【分析】

先求出P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标，得出反射光线所在直线方程，由直线与圆相切，列出等

式求解，即可得出结果.

丽]

因为P(-2,1)关于丫轴的对称点的坐标为P'(-t-1),

所以直线P'Q的方程为y=一-(%-。)/即％-(3+d)y-a=0,

-3—Q

圆心(0,0)到直线x-(3+a)y-a=0的距离d=,_=1,

5

所以Q=-3

故答案为

九、解答题(共6分)

23.已知直线/：丫=工+力及圆。：x2+y2=l,是否存在实数江使自4(3,3)发出的光线被直线

/反射后与圆。相切于点B(黄，5)？若存在，求出〃的值；若不存在，说明理由.

【答案】存在，8=4

【分析】

求点力(3,3)关于/的对称点，得到反射光线所在直线的方程，反射光线是圆的切线，利用圆心到

直线距离等于半径，求出力的值.

丽］

存在这样的实数4且b=4.

理由：假设存在这样的实数〃，点4(3,3)关于/的对称点为4(机,九),

(_1

则有隹:上，解得即4(3-43+二

(2—2

反射光线经过点B(|^,福)和点4(3—b,3+b),

・・・由两点式可得反射光线所在直线的方程为咨%=潜V，

正4，一(3+b)«~•O(3~b)

即(25b+68)x+(25b-51)y-31b-51=0.

・・,反射光线是圆的切线,|-31Z)-51|

V(25b+68)2+(25b-51)2

A(31b+51)2=(25b+68)2+(25b-51)2,

即/一助+16=0,：.b=4.

故存在实数从且b=4.

1.已知14(2,—3),直线I：x—y+1=0

24.直线，关于点A的对称直线人的方程；

25.若光线沿直线2x-y-3=0照射到直线/上后反射，求反射光线所在的直线。的方程.

【答案】24.%-y-11=0

25.x—2y+6=0

【分析】

(1)设。上任意一点坐标，利用对称，求出点(x,y)关于4(2,-3)的对称点，代入到直线/中，即

可求解出直线匕的方程；(2)先求出2x-y-3=0与直线用勺交点8(4,5),则反射光线一定经过

交点B(4,5),再在2x-y-3=0上任意找一点，求出该点关于直线用勺对称点D,则直线BO就是

反射光线所在的直线

【24题详解】

设点(x,y)是直线匕上一点，则点(x,y)关于4(2,-3)的对称点为(4一匕一6-y),因为

(4一%,-6-y)在直线x-y+1=0上，代入得：%-y-11=0

所以直线。的方程为：x-y-ll=0

【25题详解】

如图所示，联立2x—y—3=0与％—y+l=0,解得：;，所以交点坐标为8(4,5),在直

线2x-y-3=0上任找一点，比如C(2,l),求出C(2,l)关于直线&x-y+1=0的对•称点

f---+1=0

D(a,b),则直线8。即为反射光线所在的直线"，则由题意得：(2匠]2,解得：

I---1=-1

Ia-2

[Q=0

U=3

则0(0,3),直线BD为:x-2y+6=0

十、单选题(共14分)

26已知点P在直线y=x+3上目(1,0),8(3,0)厕PA|+|PB|的最小值为()

A.V10B.5C.V42D.2V13

【答案】D

【分析】

过点4做关于直线y=x+3的对称点C(x,y),求出点C坐标，则直线y=x+3是线段4c的垂直平分

线，则|P川+\PB\=\PC\4-\PB\>|BC|,18cl的值即为所求.

[i锵]

解:由题知，过点4做关于直线y=x+3的对称点C(x,y),

取直线y=x+3上一点P,连接P4PBJC,

连接BC交y=x+3于点Pi，连接4Pi，PiC,4C,如图所示:

(虫+3"

则有二2，解得二二，即C(-3,4),

—x1=-1(y—4

U-i

因为4c关于直线y=X+3对称，

所以直线y=x+3是线段AC的垂直平分线，

所以伊川=\PC\MPA\+\PB\=\PC\+\PB\>|BC|,

当且仅当点P运动到Pl处时|P1C|+|P$|=\BC\,

所以(|P川+|PB|)min=\BC\=J(3+3)2+(0—4)2=2V13.

故选:D.

27.在平面直角坐标系%。y中，已知点A(0,-2),点8(l,0),P为直线2x-4y+3=0上一动点，则

|P4|+|PB|的最小值是()

A.V5B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

求点4(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点A的坐标,由此可得|PA|+\PB\=\PAr\4-

|P8|,结合结论两点之间线段最短可求|P川+|P8|的最小值.

G锵]

设点4(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点为4(%,y),

(2x--4x—4-3=0(X=

叫2J,解得n5,

t-X2=-1[y=T

所以〃(遇3

所以|P川+\PB\=|PA|+\PB\>\A'B\=J篝+答=4,

当且仅当点P为线段48与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立,

所以|P川+|PB|的最小值是4,

故选：B.

28.已知点/(一1,2),。(一1,0),点A关于直线x—y+1=。的对称点为点在八中,

\PC\=y[2\PB\,则△PBC面积的最大值为()

A.4直B.3V2C.2V2D.V2

【答案】C

【分析】

先根据对称的性质求出点B的坐标，设P(x,y),再由|PC|=&|PB|可求出点P的轨迹方程，由图

可知△PBC中BC边上的高为圆的半径时，△PBC面积最大，从而可求得结果.

(2=-1,(x=1

设8的坐标为(a,y°),则；。+；+2=：。二：，则B的坐标为(1,0),

/x°~j-4-1=0-u

(22

设P(%,y),\PC\=>/2\PB\=Q+l)2+y2=2(x—l)2+2y2=>%2+y2-6x4-1=0,

(x-3)2+y2=8.

所以(S"BC)max=J\BC\x272=1x2x272=272.

故选：C

29.已知抛物线C:y2=2p%(p>0),过其焦点F且斜率为8的直线1交抛物线于48两点，若抛物

线C上存在点M与％轴上一点N(7,0)关于直线】对称，则抛物线C的焦点F到准线的距离为()

A.4B.5叫D.6

【答案】D

【分析】

先利用求得点M的坐标，代入抛物线C的方程求得〃的值，进而得到抛物线C的焦点尸到准线的距

离.

【厢】

抛物线C：y2=2Px(p>0)焦点/(go),

则直线Z的方程可设为y=8(%—，

设点N(7,0)关于直线/对称点M(s,t),

(_L=3Sp-=14------

则1三二二行“，解之得4

匕=8(等咔

4

则M［任卢，空建)，又点M在抛物线C上，

则(等75)2=2p•任£二整理得3P2—4p—84=0,

解之得p=6或口=-芳(舍)，则物线C的焦点尸到准线的距离为6.

故选：D

30.己知圆工2—2x+y2=。与圆。关于直线％+y=。对称，且点/(一75,0),^(0,V3),P是圆C

上一点，贝此B4P的最大值为()

A.45°B.75°C.105°D.1200

【答案】C

【分析】

根据圆关于直线对称，求出圆。的方程，画图分析即可求出NB4P的最大值.

G锵］

圆工2—2x+y2=0的标准方程为(工一1)2+y2=1,其圆心为(1,0),半径丁=1.

因为点(1,0)关于直线X+y=0对称的点为(0,-1),所以圆。的方程为/+(y+I)2=1,

画图分析可知，当AP与圆。柑切，且点「在工轴下方时，NB力P最大.

连接PCMC,则PC=1,PC1/P,

vAC=>JOA2+OC2=2,^OAC=乙PAC=30°,・••^OAP=60°,

又OA=OB,・••484。=45°,

•••乙BAP=450+60°=105°.

故选:C.

31.在平面直角坐标系xOy中，若圆6：0+4)2+0-1)2=八(丁>0)上存在点。，且点P关于直

线y=%+1的对称点Q在圆Q：(%-4)2+y2=4上，则丁的取值范围是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,.+oo)D.[3,+8)

【答案】B

【分析】

求出圆Ci关于直线y=%+1的对称圆的方程，由对称圆与圆G有公共点可得答案.

丽]

圆G：(%+4)2+(y—I)2=r2(r>0)的圆心为丁(一4,1),

设G(-4,1)关于直线y=X+1的对称点为C3(Q,b),

l+b_-4+a1

KZ-i解得｛j二2

所以

a+4

Q(-4,1)关于直线y=%+1的对称点为。3(。，一3)，

由题意得，以C3为圆心，以「为半径的圆与圆。2有公共点,

所以|丁一2|4|C2c3|4丁+2,解得：34rW7.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出圆C]关于直线y=x+l的对称的圆与圆C2有公共点，考查了

学生思维能力.

32.已知椭圆C《+^=1(Q>0)的左、右焦点分别为FL.若点&关于直线y=2%的对称点尸

恰好在C上，且直线PF1与C的另一个交点为Q,则cos乙&QF2=()

45

AD

-一

♦57

【答案】D

【分析】

先根据点关于直线的对称点求法求出点P（羊，-蔡），再根据距离公式可得IPFJ=竽。,旧户2|=

等c,从而判断出2&PF2为直角，再根据椭圆的定义以及勾股定理计算得出|QF2|,|QP|,从而得

解.

［臃］

设Fi（-c,O）关于直线y=2%的对称点P（%i，yi）,

-^―x2=-1

由丈2xX，得唯'—3

22

可知［PF/=衅。,叱2|=^c又知|F［F2|=2C,

所以|PF/2+|PF2|2=尸/2/，则”止尸2为直角,

由题意，点P恰好在C上，根据椭圆定义|PFil+|PF2l=2a,得4=皆的

IQFJ+IQF2I=2a,设|QFi|=m，则IQF2I=2Q—m=容（:一m，

222

在直角三角形中，（m+?c）+（?。）=c-m）,

解得m=¥c,从而IQF2I=誓。|QP|=§^c,

所以8SNFWF2=^=茬

故选：D.

十一、多选题（共2分）

33.抛物线C：y2=4%的焦点为尸，尸是其，一动点，点直线/与抛物线C相交于A,B

两点，准线与龙轴的交于点O,下列结论正确的是（）

A.\PM\+|PF|的最小值是2

B.|PM|-|PF|的最大值是2

C.存在直线/,使得A,B两点关于直线％+y—5=0对称

D.若直线/经过点Q,且8点在线段AD上，不存在直线人使得|4婷+|B/|=2|DF|

【答案】ACD

【分析】

对于A,利用抛物线的定义，数形结合判断；对于B,利用三角形两边的差小于第三边判断；；

对于C,设出直线/的方程，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于D,设出直线方程，

与抛物线方程联立，结合抛物线的定义判断作答.

［腌］

抛物线C必的焦点F（LO）,准线％=-1,过点P作PQ垂直于