专题四圆复习教案

个性化教学辅导教案姓名年级：初三教学课题专题圆复习阶段基础（）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标知识点：圆的基本性质、与圆有关的位置关系考点：圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆的相关计算方法：讲练法重点难点重难点：圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆的相关计算教学内容与教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________作业检查与分析【知识网络】

【考试目标要求】

理解圆的定义及基本概念，会运用垂径定理及推论、四者关系定理、圆周角定理计算和证明；会判断点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系，利用切线的判定、性质定理计算和证明相关问题；会作三角形的外接圆和内切圆，掌握外心、内心的性质；会利用圆和正多边形的关系进行有关计算；会利用公式计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积和全面积.

【知识考点梳理】

知识点一、圆的有关概念和性质

圆的有关概念

(1)圆的定义：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的

端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

②圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合.定点是圆心，定长是半径.

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

(2)弦、弧、圆心角、圆周角

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角.

2.圆的有关性质

(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是圆心.

(2)垂径定理：

①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

②同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

(4)圆周角定理及推论

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

知识点二、与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系

设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d，则有：

①点P在圆外d＞r；

②点P在圆上d＝r；

③点P在圆内d＜r.

直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离

直线和圆有两个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.

直线和圆有一个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

直线和圆没有公共点，我们说这条直线和圆相离.

(1)直线和圆公共点的个数：

①直线与圆相交两个公共点；

②直线与圆相切一个公共点；

③直线与圆相离没有公共点.

(2)d与r的关系：

设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d，则有：

①直线与圆相交d＜r；

②直线与圆相切d＝r；

③直线与圆相离d＞r.

3.切线的判定和性质

①切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的长，叫做这点到圆的切线长；

②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

\圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系有五种：外离、内含、相交、内切、外切

(1)两圆公共点的个数：

①两圆外离没有公共点；

②两圆内含没有公共点；

③两圆相交两个公共点.

④两圆外切一个公共点

⑤两圆内切一个公共点

(2)圆心距、半径及两圆的位置关系

设两圆的半径分别为R、r(R＞r)，圆心距为d，则

①两圆外离d＞R+r；

②两圆内含d＜R-r；

③两圆相交R-r＜d＜R+r；

④两圆外切d＝R+r；

⑤两圆内切d＝R-r.

知识点三、圆与正多边形

1.三角形的外接圆和内切圆

(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆.

(2)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

2.圆与正多边形

顺次连接圆上的n等分点得到的多边形是正n边形.

(1)一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的外接圆；把一个正多边形的外接圆的

圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角

叫正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

(2)圆内接四边形的对角互补.

(3)圆内接正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴.圆内接正2n边形是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心.

(4)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆.

(5)常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系：

设正n边形的半径为r，边心距为d.

①圆内接正三角形中，r=2d或d=r；

②圆内接正四边形中，r=d或d=r；

③圆内接正六边形中，d=r.

知识点四、与圆有关的计算

1.弧长公式：

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为

2.扇形的定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

在半径为R，为扇形的弧长，n°的圆心角所对的扇形的周长：.

扇形的面积：.

3.圆锥

(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形，若为圆锥母线长，r为底面半径，则

圆锥的母线=扇形的半径R；圆锥底面圆周长2πr=扇形弧长.圆锥的侧面积：

圆锥的全面积：

【规律方法】

1.数形结合思想

结合圆的有关性质求角的度数和线段的长，利用弧长、扇形面积等公式求阴影部分的面积.都是结合图形的直观性解决数的抽象性，并进行形数互化.

2.分类讨论思想

在判断和圆有关的位置关系时，要注意有几种情况，或在求圆中一条弦所对的圆周角、圆中平行两弦的弦心距等都是利用分类讨论的思想，在不同条件和图形下得到不同的结论.

3.化归与转化思想

在解决有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形、等信息，从而归结一个相对较容易解决的问题，达到解决问题的目的.

4.注意观察、分析、总结

圆这一单元的知识点较多，要注重积累并会应用到实际问题中，总结各种题型之间的变化和联系，拓展解题思路，并会运用数学思想和方法及学会演绎推理的方法，提高推理和表达能力.【例题讲解】知识点1：圆的定义：1.圆上各点到圆心的距离都等于.2.圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.例1、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是()例2、如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2.同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.3.直径所对的圆周角是，90°所对的弦是.例3、如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.例4、如图：分别是半径和的中点，与的大小有什么关系？为什么？知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分.例5、如图，的直径，，则弦的长为()A． B．C． D．ABCMNO·例6、已知：如图，M是ABCMNO·(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数．知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的.例7、如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点，已知点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．知识点6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量(d与r)的大小关系d＜rd＝rd＞r例8、在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是()A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交公共点个数012数量关系d＞rd＝rd＜r例9、菱形对角线的交点O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为()A．相交B．相离C．相切D．不能确定例10、如图，，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是__________cm．知识点8：切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点。⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。例11、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．BACDBACDEGOF（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．知识点9：切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.例12、如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是__．例13、如图,已知△,，．是的中点，⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一个交点，连并延长交的延长线于点.则.知识点10：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的.例14、如图7,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为________.例15、（2010广东广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；CPDOBAE（2）判断CPDOBAE（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.知识点11：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。(R＞r)1.两圆外离_____________；2.两圆外切_____________；3.两圆相交______________；4.两圆内切_____________；5.两圆内含______________.例17、如图6，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若，则的度数为A． B． C． D．例18、已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是()A． B． C．或 D．或_A_y__A_y_x_O(1)若点B坐标为(4，0)，⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；(2)若⊙B过M(－2，0)且与⊙A相切，求B点坐标．知识点12：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的______，外接圆的半径叫做正多边形的______；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_______；正n(n≥3)边形的计算通常转化为在由______、______、________构成的直角三角形中解直角三角形，其中，半边长所对的锐角等于______度.例19、如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有()A．3个B．4个C．5个D．6个EABCDFP例20、如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为。知识点13：圆的面积公式是S=______，扇形的面积公式是S扇形=______或______.例21、已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧