2024-2025学年高中数学单元素养评价第1章导数及其应用含解析苏教版选修2-2

PAGE单元素养评价(一)(第1章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.自变量x从x0改变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.从x0到x1的平均改变率B.在x=x1处的改变率C.在x=x1处的改变量D.在区间[x0,x1]上的导数【解析】选A.QUOTE=QUOTE表示函数从x0到x1的平均改变率.2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为 ()A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)【解析】选C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).3.曲线y=QUOTEx2-2x在点QUOTE处的切线的倾斜角为 ()A.30°B.45°C.60°D.135°【解析】选D.y′=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此倾斜角为135°.4.已知函数f(x)=x·cosx,则f′QUOTE= ()A.0 B.-1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.f′(x)=cosx-xsinx,所以f′QUOTE=cosQUOTEπ-QUOTEπ·sinQUOTEπ=QUOTEπ.5.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+π在R上既有极大值又有微小值,则实数a的取值范围是 ()A.a<-1 B.a>2C.-1<a<2 D.a<-1或a>2【解析】选D.f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的实数解,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,得a<-1或a>2.6.已知f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,g(x)为f(x)的导函数,则g(x)的单调增区间是()A.(-∞,-1) B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,-1),QUOTE【解析】选D.g(x)=f′(x)=8x3+9x2-6x-6,g′(x)=24x2+18x-6,令g′(x)=0得x=-1或x=QUOTE,令g′(x)>0得x<-1或x>QUOTE,则g(x)的单调增区间为(-∞,-1),QUOTE.【补偿训练】若f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的单调递增区间为____________.

【解析】f′(x)=2x-2-QUOTE=QUOTE=QUOTE,由f′(x)>0得x>2.答案:(2,+∞)7.若函数f(x)=QUOTE在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是 ()A.(-1,0) B.[-1,0)C.(-1,0] D.[-1,0]【解析】选C.f′(x)=QUOTE,令f′(x)>0,得-1<x<1,即函数f(x)的单调增区间为(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上单调递增,所以QUOTE解得-1<m≤0.8.已知函数f(x)=xcosx-sinx,若存在实数x∈[0,2π],使得f(x)<t成立,则实数t的取值范围是 ()A.(-∞,-π) B.(-π,+∞)C.(0,π) D.(π,2π)【解析】选B.因为存在实数x∈[0,2π],使得f(x)<t成立,所以t>QUOTE,f′(x)=cosx+x(-sinx)-cosx=-x·sinx,令f′(x)=0得x=0或x=π或x=2π.列表x0(0,π)π(π,2π)2πf′(x)0-0+0f(x)0↘微小值↗2π当x=π时,f(x)有微小值也是f(x)的最小值,所以f(x)min=f(π)=-π.故t>-π.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列求导运算正确的是 ()A.(cosx)′=-sinx B.QUOTE′=cosQUOTEC.QUOTE′=-QUOTE D.(e2x)′=e2x【解析】选AC.A中,(cosx)′=-sinx,B中QUOTE′=0,C中QUOTE′=-QUOTE,D中(e2x)′=2e2x.【补偿训练】已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满意以下条件:①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x),若QUOTE+QUOTE=QUOTE,则logax>1成立的x的取值范围是__________________.【解题指南】依据题目中所给的条件推断a的取值范围,求出a的值,最终解不等式.【解析】由①②,QUOTE=ax,由③,QUOTE′=QUOTE<0,即axlna<0,所以0<a<1.又QUOTE+QUOTE=QUOTE,即a+QUOTE=QUOTE,a=QUOTE或a=2(舍),从而logax>1=logaa,0<x<a,故0<x<QUOTE.答案:QUOTE10.使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AD.y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当y′>0时为增函数,结合选项知0<x<QUOTE或QUOTE<x<2π.【补偿训练】已知函数f(x)=QUOTEax3+QUOTEax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是____________.

【解析】f′(x)=ax2+ax-2a=a(x-1)(x+2),由f(x)的图象经过四个象限知,若a>0,则QUOTE此时无解;若a<0,则QUOTE所以-QUOTE<a<-QUOTE.答案:QUOTE11.设函数f(x)=QUOTEx-lnx(x>0),则y=f(x) ()A.在区间QUOTE内有零点B.在区间(1,e)内有零点C.在区间QUOTE内无零点D.在区间(1,e)内无零点【解析】选BC.因为f(x)=QUOTEx-lnx(x>0),所以f(e)=QUOTEe-1<0,f(1)=QUOTE>0,fQUOTE=QUOTE+1>0,所以f(x)在(1,e)内有零点,在QUOTE内无零点.12.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中肯定成立的是 ()A.函数f(x)有极大值f(2)B.函数f(x)有极大值f(-2)C.函数f(x)微小值f(-2)D.函数f(x)有微小值f(2)【解析】选BD.由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得微小值.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=x2+2cosx,则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为_______________.

【解析】f′(x)=2x-2sinx,则f′(π)=2π-0=2π,又f(π)=π2-2,所以切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.答案:y=2πx-π2-2【补偿训练】已知函数f(x)=QUOTEx3-QUOTEx2+x(a>0),则f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率最大时的切线方程是____________.

【解析】f′(x)=x2-QUOTEx+1,故f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2-QUOTE,明显当a=1时,a+QUOTE最小,k最大为0,又f(1)=QUOTE,所以切线方程为y=QUOTE.答案:y=QUOTE14.周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为【解析】设矩形的长为x,则宽为10-x(0<x<10),由题意可知所求圆柱的体积V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,所以V′(x)=20πx-3πx2.由V′(x)=0得x=0(舍去),x=QUOTE,且当x∈QUOTE时,V′(x)>0,当x∈QUOTE时,V′(x)<0,所以当x=QUOTE时,V(x)取得最大值为QUOTEπcm3.答案:QUOTEπcm315.(2024·北京高考)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=____________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是____________.

【解析】①明显f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=ex-ae-x=QUOTE≥0恒成立,即g(x)=(ex)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].答案:-1(-∞,0]16.(2024·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____________.

【解析】设点A(x0,y0),则y0=lnx0.又y′=QUOTE,当x=x0时,y′=QUOTE,曲线y=lnx在点A处的切线为y-y0=QUOTE(x-x0),即y-lnx0=QUOTE-1,代入点(-e,-1),得-1-lnx0=QUOTE-1,即x0lnx0=e,考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,且H′(x)=lnx+1,当x>1时,H′(x)>0,H(x)单调递增,留意到H(e)=e,故x0lnx0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,故点A的坐标为A(e,1).答案:(e,1)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取微小值,x=QUOTE时取极大值.(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程.(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.又x=-1,x=QUOTE分别对应函数取得微小值、极大值,所以-1,QUOTE为方程-3x2+2ax+b=0的两个根.所以QUOTEa=-1+QUOTE,-QUOTE=(-1)×QUOTE.于是a=-QUOTE,b=2,则f(x)=-x3-QUOTEx2+2x.当x=-2时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上.又切线斜率k=f′(-2)=-8,所求切线方程为y-2=-8(x+2),即为8x+y+14=0.(2)列表如下:x-2(-2,-1)-11f′(x)-0+0-f(x)2↘-QUOTE↗↘则f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-QUOTE.18.(12分)已知函数f(x)=lnx+QUOTE,a为常数.(1)若a=QUOTE,求函数f(x)在[1,e]上的值域.(e为自然对数的底数,e≈2.72)(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意f′(x)=QUOTE-QUOTE,当a=QUOTE时,f′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.因为x∈[1,e],所以f(x)在[1,2)上为减函数,[2,e]上为增函数,又f(2)=ln2+QUOTE,f(1)=QUOTE,f(e)=1+QUOTE,比较可得f(1)>f(e),所以f(x)的值域为QUOTE.(2)由题意得g′(x)=QUOTE-QUOTE+1≤0在x∈[1,2]上恒成立,所以a≥QUOTE+(x+1)2=x2+3x+QUOTE+3恒成立,设h(x)=x2+3x+QUOTE+3(1≤x≤2),所以当1≤x≤2时,h′(x)=2x+3-QUOTE>0恒成立,所以h(x)max=h(2)=QUOTE,所以a≥QUOTE,即实数a的取值范围是QUOTE.19.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,所以d=-d,所以d=0(或由f(0)=0得d=0).所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,又当x=1时,f(x)取得极值-2,所以QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以f(x)=x3-3x.(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′(x)=0,得x=±1,当-1<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;当x<-1或x>1时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);单调减区间为(-1,1).因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.20.(12分)(2024·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,探讨f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥QUOTEx3+1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,fQUOTE=ex+x2-x,f′QUOTE=ex+2x-1,由于f″QUOTE=ex+2>0,故f′QUOTE单调递增,留意到f′QUOTE=0,故当x∈QUOTE时,f′QUOTE<0,fQUOTE单调递减,当x∈QUOTE时,f′QUOTE>0,fQUOTE单调递增.(2)由fQUOTE≥QUOTEx3+1得,ex+ax2-x≥QUOTEx3+1,其中x≥0,①当x=0时,不等式为:1≥1,明显成立,符合题意;②当x>0时,分别参数a得,a≥-QUOTE,记gQUOTE=-QUOTE,g′QUOTE=-QUOTE,令hQUOTE=ex-QUOTEx2-x-1QUOTE,则h′QUOTE=ex-x-1,h″QUOTE=ex-1≥0,故h′QUOTE单调递增,h′QUOTE≥h′QUOTE=0,故函数hQUOTE单调递增,hQUOTE≥hQUOTE=0,由hQUOTE≥0可得:ex-QUOTEx2-x-1≥0恒成立,故当x∈QUOTE时,g′QUOTE>0,gQUOTE单调递增;当x∈QUOTE时,g′QUOTE<0,gQUOTE单调递减,因此,QUOTE=gQUOTE=QUOTE,综上可得,实数a的取值范围是QUOTE.21.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10cm,设∠BAO=θ,0<θ<QUOTE,圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于θ的函数关系式.(2)为了达到最佳欣赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.【解析】(1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,在△AOE中,AE=10cosθ,AB=2AE=20cosθ,在△ABD中,BD=AB·sinθ=20cosθ·sinθ,所以S=QUOTE·2π·20sinθcosθ·20cosθ=400πsinθcos2θQUOTE.(2)要使侧面积最大,由(1)得:S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ-sin3θ),设f(x)=x-x3(0<x<1),则f′(x)=1-3x2,由f′(x)=1-3x2=0得:x=QUOTE,当x∈QUOTE时,f′(x)>0,当x∈QUOTE时,f′(x)<0,所以f(x)在区间QUOTE上单调递增,在区间QUOTE上单调递减,所以f(x)在x=QUOTE时取得极大值,也是最大值;所以当sinθ=QUOTE时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cosθ=20QUOTE=20QUOTE=QUOTE.答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为QUOTEcm.22.(12分)(2024·江苏高考)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的微小值.(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤QUOTE.【解析】(1)因为a