2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换一课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE简洁的三角恒等变换(一)(15分钟30分)1.已知sinθ=QUOTE,且QUOTE<θ<3π,则cosQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.因为sinθ=QUOTE,QUOTE<θ<3π,所以cosθ=-QUOTE=-QUOTE.又QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.若sin2α=QUOTE,且α∈QUOTE,则cosα-sinα的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.因为α∈QUOTE,所以cosα<sinα,(cosα-sinα)2=1-sin2α,所以cosα-sinα=-QUOTE.3.(2024·郯城高一检测)已知2sinα=1+cosα,则tanQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE或不存在C.2 D.2或不存在【解析】选B.由2sinα=1+cosα,得4sinQUOTEcosQUOTE=2cos2QUOTE,当cosQUOTE=0时,则tanQUOTE不存在,当cosQUOTE≠0时,则tanQUOTE=QUOTE.4.设α是其次象限的角,tanα=-QUOTE,且sinQUOTE<cosQUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为α是其次象限的角,所以QUOTE可能在第一或第三象限,又sinQUOTE<cosQUOTE,所以QUOTE为第三象限的角,所以cosQUOTE<0.因为tanα=-QUOTE,所以cosα=-QUOTE,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE.5.已知cos2θ=QUOTE,QUOTE<θ<π.(1)求tanθ的值.(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因为cos2θ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得tanθ=±QUOTE,因为QUOTE<θ<π,所以tanθ=-QUOTE.(2)QUOTE=QUOTE,因为QUOTE<θ<π,tanθ=-QUOTE,所以sinθ=QUOTE,cosθ=-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-4.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知450°<α<540°,则QUOTE的值是 ()A.-sinQUOTE B.cosQUOTEC.sinQUOTE D.-cosQUOTE【解析】选A.因为450°<α<540°,所以225°<QUOTE<270°,所以cosα<0,sinQUOTE<0,所以原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-sinQUOTE.【补偿训练】已知θ为其次象限角,且cosQUOTE=-QUOTE,那么QUOTE的值是 ()A.-1B.QUOTEC.1D.2【解析】选C.因为θ为其次象限角,所以QUOTE为第一或第三象限角且cosQUOTE=-QUOTE,所以QUOTE为第三象限角且sinQUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=1.2.(2024·天津高一检测)若f(x)=2tanx-QUOTE,则fQUOTE的值是 ()A.-QUOTE B.8 C.4QUOTE D.-4QUOTE【解析】选B.f(x)=2tanx-QUOTE=2tanx+QUOTE=2QUOTE.又tanQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=2QUOTE=8.3.在△ABC中,已知sinAsinB=cos2QUOTE,则△ABC是 ()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.不等边三角形【解析】选B.在△ABC中,A+B+C=π,由sinAsinB=cos2QUOTE得,-QUOTE[cos(A+B)-cos(A-B)]=QUOTE,所以QUOTEcosC+QUOTEcos(A-B)=QUOTE,所以cos(A-B)=1,所以A=B,即△ABC是等腰三角形.4.(2024·青岛高一检测)化简QUOTE+2sin2QUOTE得()A.2+sinα B.2+QUOTEsinQUOTEC.2 D.2+QUOTEsinQUOTE【解析】选C.原式=1+2sinQUOTEcosQUOTE+1-cosQUOTE=2+sinα-cosQUOTE=2+sinα-sinα=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知2sinQUOTE=sinθ+cosθ,2sin2β=sin2θ,则sin2α+QUOTEcos2β=.

【解析】由2sinQUOTE=sinθ+cosθ,得QUOTEcosα+QUOTEsinα=sinθ+cosθ,两边平方得,2(1+sin2α)=1+sin2θ,①又2sin2β=sin2θ,②由①②两式消去sin2θ,得2(1+sin2α)=1+2sin2β,即2sin2α+cos2β=0,所以sin2α+QUOTEcos2β=0.答案:06.(2024·温州高一检测)已知sin2θ=QUOTE,0<2θ<QUOTE,则QUOTE=.

【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为sin2θ=QUOTE,0<2θ<QUOTE,所以cos2θ=QUOTE,所以tanθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE