2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率课时作业含解析北师大版选修1-1

PAGE1变更的快慢与变更率[A组基础巩固]1．对于函数y＝eq\f(1,x)，当Δx＝1时，Δy的值是()A．1 B．－1C．0.1 D．不能确定解析：函数值的变更量是指函数在某一点旁边的变更量，因而要求Δy，必需指明在某点旁边的函数变更量．答案：D2．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变更率估计是()A．2 B．3C．4 D．5解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx,Δx)＝3，∴当Δx趋于0时，eq\f(Δy,Δx)趋于3.故选B.答案：B3．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变更率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不能确定解析：k1＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝2x0－Δx.由题意知Δx>0，所以k1>k2，选A.答案：A4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝eq\f(1,8)t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬间速度为()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：因为Δs＝eq\f(1,8)(2＋Δt)2－eq\f(1,8)×22＝eq\f(1,2)Δt＋eq\f(1,8)(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt，当Δt趋于0时，eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt趋于eq\f(1,2)，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为eq\f(1,2).答案：C5．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)＝16－8t－4Δt＝0.即16－8t＝0，解得t＝2.答案：B6．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变更率为__________；函数f(x)在[－2,3]上的平均变更率为__________．解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变更率为eq\f(f1－f－2,1－－2)＝eq\f(1－－1,3)＝eq\f(2,3)，函数f(x)在[－2,3]上的平均变更率为eq\f(f3－f－2,3－－2)＝eq\f(3－－1,5)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(2,3)eq\f(4,5)7．质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：cm，t单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8cm/s，则常数a＝________.解析：由eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2＋1－4a－1,Δt)＝4a＋aΔt知质点M在t＝2s时瞬时速度为4a，即4a＝8，∴a＝2.答案：28．以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，ts时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－eq\f(1,2)gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2－(v0t0－eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0))＝(v0－gt0)Δt－eq\f(1,2)g(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq\f(1,2)gΔt.当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体从t＝0到t＝2时的平均速度；(2)求此物体的初速度；(3)求此物体在t＝2时的瞬时速度．解析：(1)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s2－s0,2－0)＝eq\f(6－4－0,2)＝1.(2)该物体从t＝0到t＝0＋Δt时的平均速度为eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt，由Δt→0得t＝0时的瞬时速度为3.即此物体的初速度为3.(3)该物体从t＝2到t＝2＋Δt时的平均速度为eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝－1－Δt.由Δt→0得t＝2时的瞬时速度为－1.[B组实力提升]1．某物体做直线运动，其运动规律是s(t)＝t2＋eq\f(3,t)(时间t的单位：s，位移s的单位：m)，则它在4s末的瞬时速度为()A.eq\f(123,16)m/s B.eq\f(125,16)m/sC．8m/s D.eq\f(67,4)m/s解析：∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt)，∴lieq\o(m,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16)，故选B.答案：B2．若函数f(x)＝eq\r(x)在点x＝x0处的瞬时变更率是eq\f(\r(3),3)，则x0的值是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．3解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(x0＋Δx)－\r(x0),Δx)＝eq\f(\r(x0＋Δx)－\r(x0)\r(x0＋Δx)＋\r(x0),Δx\r(x0＋Δx)＋\r(x0))＝eq\f(1,\r(x0＋Δx)＋\r(x0))，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2\r(x0))，∴eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(3),3)，∴x0＝eq\f(3,4).答案：A3．函数f(x)＝lnx＋1从e到e2的平均变更率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(lne2＋1)－(lne＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,e2－e).答案：eq\f(1,e2－e)4．质点的运动方程是s(t)＝eq\f(1,t2)，则质点在t＝2时的速度为________．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1,4),Δt)＝－eq\f(4＋Δt,42＋Δt2)，当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)5．若一个物体的运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3,29＋3t－32，0≤t<3)).求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初始速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解析：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变更量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变更量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)物体的初始速度v0即物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0旁边的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－3×0－32,Δt)＝3Δt－18，∴当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度为－18m/s，即物体的初始速度为－18m/s.(3)∵物体在t＝1旁边的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－3×1－32,Δt)