2024-2025学年新教材高中数学第7章三角函数7.17.1.1任意角学案苏教版必修第一册

7.1角与弧度7.学习任务核心素养1．了解随意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)3．驾驭推断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)1．通过终边相同角的计算，培育数学运算素养．2．借助随意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角．例如体操中有“前空翻转体540°”，主动轮和被动轮的旋转方向不一样，如何定义角才能解决这些问题呢？学问点1随意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线围着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的起先位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角1.假如一个角的始边与终边重合，那么这个角肯定是零角吗？[提示]不肯定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个随意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)．1.如图，角α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]学问点2象限角与轴线角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)轴线角：终边在坐标轴上的角．2.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)180°是其次象限角．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第一象限内的角都小于其次象限内的角．()[提示](1)180°是轴线角．(3)如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×学问点3终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.终边相同的角肯定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不肯定相等，但相等的角终边肯定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．3.与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同的角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]类型1角的概念辨析【例1】(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角肯定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.(1)①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．](2)[解]作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是其次象限角．③－510°是第三象限角．1．理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：推断命题为真须要证明，而推断命题为假只要举出反例即可．2．象限角的判定方法(1)在坐标系中画出相应的角，视察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；其次步，推断β的终边所在的象限；第三步，依据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．提示：理解随意角这一概念时，要留意“旋转方向”确定角的“正负”，“旋转幅度”确定角的“肯定值大小”．[跟进训练]1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100°－1200°[时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于eq\f(10,3)小时，故时针转过的角度为－eq\f(10,3)×30°＝－100°；分针转过的角度为－eq\f(10,3)×360°＝－1200°.]类型2终边相同的角与象限角【例2】已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；(3)若与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2.[思路点拨](1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，推断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用视察法验证k的不同取值即可．[解](1)法一：∵－1910°＝－6×360°＋250°，∴－1910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－eq\f(1910,360)＝－5eq\f(11,36).k的最大整数解为k＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.(3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250°(k∈Z)．所以取k＝－1,0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°.1．把随意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用视察法(α的肯定值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同始终线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提示：k∈Z，即k为整数这一条件不行少．[跟进训练]2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．3．在与10030°角终边相同的角中，求满意下列条件的角．(1)最大的负角；(2)－360°～720°内的角．[解]与10030°角终边相同的角的一般形式为β＝10030°＋k·360°(k∈Z)．(1)由10030°＋k·360°<0°.得k·360°<－10030°，所以k<－eq\f(1003,36)，又k∈Z，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由－360°≤10030°＋k·360°<720°，得－10390°≤k·360°<－9310°，又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26.当k＝－28时，β＝10030°－28·360°＝－50°，当k＝－27时，β＝10030°－27·360°＝310°，当k＝－26时，β＝10030°－26·360°＝670°，故所求的角β的值为－50°，310°，670°.类型3区域角的表示【例3】已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由全部介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．1.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以全部满意题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则全部满意条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；其次步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．[跟进训练]4．写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．类型4角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限的确定【例4】已知α是其次象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．[解]法一：∵α是其次象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，这表明eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，这表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．在本例条件下，求角2α的终边的位置．[解]∵α是其次象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再干脆转化为终边相同的角即可．留意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的状况．(2)已知角α终边所在的象限，确定eq\f(α,n)终边所在的象限，分类探讨法要对k的取值分以下几种状况进行探讨：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简洁直观．[跟进训练]5．已知α与330°角的终边相同，推断eq\f(α,3)是第几象限角．[解]由α＝k·360°＋330°(k∈Z)，可得eq\f(α,3)＝k·120°＋110°(k∈Z)．若k＝3n(n∈Z)，则eq\f(α,3)＝n·360°＋110°(n∈Z)，与110°角的终边相同，是其次象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，则eq\f(α,3)＝n·360°＋230°(n∈Z)，与230°角的终边相同，是第三象限角．若k＝3n＋2(n∈Z)，则eq\f(α,3)＝n·360°＋350°(n∈Z)，与350°角的终边相同，是第四象限角．所以eq\f(α,3)是其次或第三或第四象限角．1．(多选题)以下说法，其中正确的有()A．－75°是第四象限角 B．265°是第三象限角C．475°是其次象限角 D．