2024-2025学年高中数学第二章平面向量3.1数乘向量课时作业含解析北师大版必修4

PAGE其次章平面对量[课时作业][A组基础巩固]1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于()A．2a B．－C.eq\f(2,5)a D．－eq\f(2,5)a解析：由题意知，3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.答案：B2．点C在线段AB上，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A.eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))C．－eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))解析：依题意，可得AC＝eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→))，又eq\o(AC,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))方向相反，所以eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)).答案：C3．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝－2a＋2b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3a－3b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝a－b，则直线AD与BC()A．平行 B．相交C．重合 D．平行或重合解析：因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，又eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))有公共的端点B，所以A，B，C三点共线．因为eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，又eq\o(BC,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))有公共的端点C，所以B，C，D三点共线．所以A，B，C，D四点共线，所以直线AD与BC重合．故选C项．答案：C4．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，则eq\o(AD,\s\up8(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b解析：在△ABC中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.答案：A5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up8(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(BC,\s\up8(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))解析：eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).答案：A6．若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝5，则a＝______b.解析：∵b与a方向相反，且|a|＝3，|b|＝5.∴a＝－eq\f(3,5)b.答案：－eq\f(3,5)7．化简：eq\f(1,2)(4a＋b)－3(b－a)＝________.解析：eq\f(1,2)(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋eq\f(1,2)b－3b＋3a＝5a－eq\f(5,2)b.答案：5a－eq\f(5,2)b8．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝________b.解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(3,2)，b与a反向，∴a＝－eq\f(3,2)b.答案：－eq\f(3,2)9.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线．证明：设eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，则由向量减法的三角形法则可知：eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(BN,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，∴eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up8(→))，又∵eq\o(CN,\s\up8(→))与eq\o(CM,\s\up8(→))公共点为C.∴C，M，N三点共线．10.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up8(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up8(→))，求实数m的值．解析：eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(NP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,44)eq\o(AC,\s\up8(→)).又eq\o(NB,\s\up8(→))＝eq\o(NC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＋(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))，设eq\o(NP,\s\up8(→))＝λeq\o(NB,\s\up8(→))(0≤λ≤1)，则λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)λeq\o(AC,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,44)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴m＝λ＝eq\f(3,11).[B组实力提升]1．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up8(→))＝2eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＝2eq\o(EA,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))＝2eq\o(FB,\s\up8(→))，则eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))()A．反向平行B．同向平行C．肯定不平行D．不能推断两个向量的关系解析：eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，故选A.答案：A2．已知向量a，b不共线，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋μb，则点A、B、C三点共线应满意()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1解析：∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AC,\s\up8(→))，∴λa＋b＝m(a＋μb)，∴(λ－m)a＋(1－mμ)b＝0，∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－m＝0,1－mμ＝0))，解得λμ＝1.答案：D3．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝5e，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－7e，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，则四边形ABCD是________形．解析：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝5e，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，又∵|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，∴四边形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯4．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满意eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0,2eq\o(QA,\s\up8(→))＋eq\o(QB,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，若|eq\o(PQ,\s\up8(→))|＝λ|eq\o(BC,\s\up8(→))|，则实数λ＝________.解析：由eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，知eq\o(PA,\s\up8(→))＝－eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))，所以点P是边AC的中点．又2eq\o(QA,\s\up8(→))＋eq\o(QB,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，所以2eq\o(QA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(QB,\s\up8(→))－eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CQ,\s\up8(→))＋eq\o(BQ,\s\up8(→))＝2eq\o(BQ,\s\up8(→))，从而有eq\o(QA,\s\up8(→))＝eq\o(BQ,\s\up8(→))，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以|eq\o(PQ,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up8(→))|，故λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知向量a，b不共线．(1)实数x，y满意等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；(2)把满意3x－2y＝a，－4x＋3y＝