解三角形解答题中范围问题归纳总结

解三角形解答题中范围问题归纳总结一、与三角形的边相关的范围问题1．设函数.(1)求的对称轴方程；(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值.2.在中，角所对的边分别是，已知函数，当时，取得最大值.(1)求角的大小；(2)若，求边的中线长度的最大值.3．在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的最小值.4.设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为，若，，求的最小值.5.在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为.（1）若，求点的坐标；（2）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．7.在中，角所对的边分别为，满足：①的外心在三角形内部（不包括边）；②.（1）求的大小；（2）求代数式的取值范围.8.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.9.已知的内角的对边长分别为，且.(1)求角的大小；(2)设为边上的高，，求的范围.【总结】三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、与三角形的角相关的范围问题1.已知，，设函数（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围.【思路引导】由，，成等比数列，可得，再根据余弦定理结合基本不等式可得，从而可得角的范围，进而可得的取值范围.2.已知函数.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在中,为角的对边，且满足求的取值范围.【思路引导】由，根据正弦定理可得，再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得，求出.从而可得，进而利用正弦函数的单调性可得的取值范围.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且(1)求角A的大小;(2)求的取值范围.【思路引导】先对三角式子进行恒等变形化简，然后利用角得到角B的取值范围，通过三角函数的有界性，确定所给条件的取值范围.4．已知在中，角的对边分别为，且满足.（1）若，求角；（2）求的最小值.【思路引导】根据（1）可知，即，由余弦定理得，根据基本不等式可得结果.5.已知锐角的三个内角、、满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．【思路引导】根据向量减法的三角形法则及平面向量的数量积公式可得，根据是锐角三角形，可得，再由三角函数的有界性可得结果.6.设三个内角的对边分别为,的面积满足.(1)求角的值;(2)求的取值范围.【思路引导】由三角形的内角和定理，可得，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．7.在中,角所对的边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)求的取值范围.【思路引导】由(1)知，化简，结合正弦函数的性质求解即可．8.的内角A、B、C所对的边分别为，且求角C；求的最大值．【思路引导】由第一问得到原式等价于，化简后为，再根据角的范围得到三角函数的范围即可。9．已知向量且与向量所成角为，其中的内角。（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【思路引导】由(1)的结论,我们可得,则，然后结合的取值范围,根据正弦型函数的性质,我们即可求出的取值范围.三、与三角形的面积相关的范围问题1.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【思路引导】根据余弦定理可得，再利用基本不等式求最值，代入三角形面积公式可得面积的最大值.2．已知向量，，函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，是角，，的对边，若，，，求面积的最大值．【思路引导】由，可得，再由余弦定理得出的范围，即可求出面积的最大值.3.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.【思路引导】结合平移变换公式可得，则，故，.结合余弦定理有，则，即面积的最大值为.4．函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．【思路引导】利用三角函数恒等变换与三角形内角和定理，化简求的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出，从而求出三角形面积的最大值.5.已知的内角的对边分别为，若，且.（1）求的值；（2）当的面积取最大值时，求的值.6．在中，角,,所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求证：角,,成等差数列；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【思路引导】根据余弦定理得，从而得到ab的最值，进而得到面积的最值。7.在中，角所对边分别是，满足（1）求角；（2）若，求面积的最大值.【思路引导】根据余弦定理的式子及基本不等式推出，再利用三角形面积公式加以计算，即可求得面积的最大值.8．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）求的面积的最大值．【思路引导】由余弦定理与基本不等式的性质可得：a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，，再利用即可得出．9.中,内角所对的边分别为.已知.(1)求;(2)若成等比数列,求的值;(3)若边上的中线长为,求面积的最大值.10.如图，在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.【思路引导】由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．11．的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【思路引导】结合（I）的结论，由余弦定理可求得，利用基本不等式求得的最大值，进而利用三角形面积公式确定的面积的最大值.12.已知的面积为，且,．（Ⅰ）若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，且，求的面积；（Ⅱ）求的最大值．【思路引导】（1）由条件利用余弦函数的图象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根据f（）=1求得B，再利用条件求得A，从而△ABC是直角三角形，从而计算△ABC的面积S．（2）利用正弦定理求得△ABC的外接圆半径R，再化减从而求得它的最大值．13.在中,角所对的边分别为,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.14．中，内角的对边分别是，已知．⑴求的大小；⑵若，且，求面积的最大值．【思路引导】由可知为中点，然后利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再利用三角形的面积公式即可计算求解.15.已知的内角满足.（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.【思路引导】（1）根据题意，根据正弦定理角化边得，再借助余弦定理即得角A的值；（2）先根据正弦定理，而面积=，求出bc的最大值即可，可利用基本不等式来求最值【总结】1.三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.2.解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值不等式是解题的关键．四、与三角形的周长相关的范围问题1.已知，若，且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.（1）求的取值范围.（2）若当取最大值时，，且在中，分别是角的对边，其面积，求周长的最小值.【思路引导】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出的解析式，利用二倍角的正弦、余弦公式化简，再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由图象中相邻的对称轴间的距离不小于，得到周期的一半大于等于，即可求出的范围；（2）当取最大值1时，由，可得，由，可得由余弦定理可得结合基本不等式可得周长的最小值.2.已知在中，内角所对的边分别为，且满足.（1）求证：；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理把已知边角关系转化为角的关系，结合两角和与差的正弦公式可得，再讨论角特别是的范围后可证得结论．（2）由（1）可得，已知条件可化为，从而易得的取值范围．4.已知的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理边化角可得：，整理计算有，则.（2）由（1）的结论结合余弦定理得，即，结合均值不等式可知(当且仅当时等号成立），则周长的最大值为.5.已知是的三个内角的对边，且满足.（1）求角；（2）若，求周长的最大值.【思路引导】（1）结合及正弦定理整理可得，所以，从而．（2）在三角形中先由余弦定理、再结合基本不等式可得，从而可得到，由此可得，可得周长的最大值．6.已知函数，．（1）求函数的对称中心；（2）已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，的外接圆半径为，求周长的最大值．【思路引导】先别函数化为．（1）令，解出后可得图象的对称中心．（2）由可得，结合正弦定理化简得，故，由此可得，由三角形外接圆的半径可得，再结合余弦定理及基本不等式可得，所以可得周长的最大值为9.7.在锐角中，，.（1）若的面积等于，求、；（2）求的周长的取值范围.【思路引导】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长，利用三角函数的有界性求解即可．8.在中，内角、、的对边分别为、、，且.（1）求；（2）求的周长的取值范围.【思路引导】（1）由，根据正弦定理可得，化简得，利用余弦定理可得结果；（2）根据正弦定理可得，，故，求得，可得，从而可得得周长的取值范围.9.在中，内角、、的对边分别为、、，中线，满足.（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.【思路引导】（1）在两个三角形和中分别余弦定理得到，，根据，得到，，化简得到，由余弦定理得到；（2）根据正弦定理得到，化为一次一角的函数表达式，根据角的范围得到函数值的范围.10.△的内角，，的对边分别为，，，且满足，．（1）求角的大小；（2）求△周长的最大值．【思路引导】（1）由根据正弦定理以及两角好的正弦公式可得，从而可得角的大小；（2）由，利用余弦定理可得，配方后利用基本不等式可得，从而可得△周长的最大值．11.在中，分别是内角的对边，且，.（1）求边的值；（2）求的周长的最大值.【思路引导】(1)由