2025届高考数学二轮复习第一部分第6讲专题训练6数学文化含解析新人教版

PAGE第一部分第6讲专题训练六数学文化一、选择题1．二十四节气(The24SolarTerms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是依据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置改变而制定的，每一个节气分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的肯定位置．依据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为4×15°＝60°.故选A．2．(2024·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公细致算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”，则该人最终一天走的路程为(C)A．24里 B．12里C．6里 D．3里【解析】记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝eq\f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a6＝192×eq\f(1,25)＝6．故选C．3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V).人们还用过一些类似的近似公式，依据π＝3.14159…推断，下列近似公式中最精确的一个是(D)A．d≈eq\r(3,\f(16,9)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(300,157)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)【解析】由球体积公式得d＝eq\r(3,\f(6,π)V)≈eq\r(3,1.90986093V).因为eq\f(16,9)≈1.77777778，eq\f(300,157)≈1.91082803，eq\f(21,11)≈1.90909091．而eq\f(21,11)最接近于eq\f(6,π).所以选D．4．(2024·渭南二模)费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2n＋1(n∈N)的素数(如：21＋1＝3)为费马素数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是(B)A．eq\f(2,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,15) D．eq\f(1,3)【解析】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本领件总数n＝15，能表示为两个不同费马素数的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3个，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故选B．5．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照耀物体影子的长度增加和削减大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为(B)A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．一丈二尺五寸【解析】设晷长为等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10．∴a2＝15＋10＝25，∴夏至之后的那个节气(小暑)晷影长是2尺5寸．故选B．6．(2024·中卫二模)加强体育熬炼是青少年生活学习中特别重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重(单位：kg)约为(B)(参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，eq\r(3)≈1.732)A．63 B．69C．75 D．81【解析】由题意知，|eq\o(F1,\s\up6(→))|＝|eq\o(F2,\s\up6(→))|＝400，夹角θ＝60°，所以eq\o(G,\s\up6(→))＋eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(G,\s\up6(→))＝－(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))；所以eq\o(G,\s\up6(→))2＝(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002；|eq\o(G,\s\up6(→))|＝400eq\r(3)(N)，则该学生的体重(单位：kg)约为40eq\r(3)＝40×1.732≈69(kg)，故选B．7．(2024·内江三模)刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限靠近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2．现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，b∈N*，b<a)，则圆周率的近似值是(B)A．eq\f(3b,a) B．eq\f(3a,b)C．eq\f(a,b) D．eq\f(b,a)【解析】由几何概型中的面积型可得eq\f(S正十二边形,S圆)＝eq\f(b,a)，所以eq\f(12×\f(1,2)×2×2×sin30°,4π)＝eq\f(b,a)，即π＝eq\f(3a,b).故选B．8．(2024·湛江二模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的几何体，假如在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满意祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面绽开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为(A)A．eq\f(2\r(2),3)π B．eq\f(4\r(2),3)πC．4eq\r(2)π D．eq\f(8,3)π【解析】由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，∵圆锥的侧面绽开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，∴圆锥的底面周长为eq\f(2π×3,3)＝2π，故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为2eq\r(2).∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.从而所求几何体的体积为V＝eq\f(2\r(2),3)π.9．(2024·南宁一模)元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中eq\f(1,3)的酒量”，即输出值是输入值的eq\f(1,3)，则输入的x＝(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(9,11)C．eq\f(21,23) D．eq\f(45,47)【解析】i＝1时，x＝2x－1；i＝2时，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3时，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4时，退出循环．此时，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23).故选C．10．(2024·咸阳模拟)我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为(B)A．32eq\r(2) B．40＋32eq\r(2)C．eq\f(104,3) D．72【解析】依据几何体的三视图画出直观图，如图所示；所以该几何体的表面积为：S＝6×6＋2×2＋4×eq\f(1,2)×(2＋6)×2eq\r(2)＝40＋32eq\r(2)故选B．11．(2024·滨州二模)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD＝2BD，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是(A)A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,13)【解析】设BD＝x，因为△ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成，所以AD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°，代入可得AB2＝(2x)2＋x2－2×2x·xcos120°，化简得AB2＝7x2，由三角形面积公式可得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\f(7\r(3)x2,4)，同理S△DEF＝eq\f(\r(3),4)FD2＝eq\f(\r(3)x2,4)，所以由几何概型面积类型的概率可得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(\f(\r(3)x2,4),\f(7\r(3)x2,4))＝eq\f(1,7).故选A．12．(2024·厦门一模)1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的全部行星，其各自椭圆轨道半长轴长(单位：米)的立方(a3)与它的公转周期(单位：秒)的平方(T2)之比是一个常量，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)(其中k为开普勒常数，M为中心天体质量，G为引力常量)．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为(C)A．150年 B．200年C．250年 D．300年【解析】设地球的运行周期为T1，半长轴长为a1，冥王星的运行周期为T2，冥王星轨道的半长轴长为a2，由题意可得eq\f(a3,T2)＝k，所以eq\f(a\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，由题意可得Teq\o\al(2,2)＝eq\f(603,1.53)×12，所以T2＝80eq\r(10)≈250年，故选C．二、填空题13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__eq\f(67,66)__升．【解析】设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)))，则a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).14．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan(θ＋eq\f(π,4))＝__－7__.【解析】依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，即有sinθ－cosθ＝eq\f(1,5).从而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝eq\f(49,25)，则sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5)，因此sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，tanθ＝eq\f(4,3)，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝－7．15．设a＞0，b＞0，则eq\f(2ab,a＋b)为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段__DE__的长度是a，b的调和平均数．【解析】因为Rt△DEC∽Rt△DCO，所以eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,OD)，从而DE＝eq\f(CD2,OD).依题意可得OD＝eq\f(a＋b,2)，C