2024-2025学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验学案含解析北师大版选修2-3

PAGE2独立性检验授课提示：对应学生用书第56页[自主梳理]一、2×2列联表设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝eq\x\to(A1)；变量B：B1，B2＝eq\x\to(B1).BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中a表示__________________时的数据；b表示________________时的数据；c表示______________时的数据；d表示________________时的数据．二、统计量χ2的计算公式依据上表给定的数据，统计量χ2的表达式为：χ2＝______________________.三、事务A、B相关性的判定方法大小比较结论χ2≤2.706没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的χ2>2.706有______的把握判定变量A，B有关联χ2>3.841有______的把握判定变量A，B有关联χ2>6.635有______的把握判定变量A，B有关联[双基自测]1．对两变量X与Y的χ2的值说法正确的是()A．χ2越大，“X与Y有关系”的把握性越小B．χ2越小，“X与Y有关系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越小D．χ2越大，“X与Y无关系”的把握性越大2．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x282533总计b46则表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,523．考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如下表所示的数据：种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407依据以上数据得χ2的值是________．[自主梳理]一、变量A取A1，且变量B取B1变量A取A1，且变量B取B2变量A取A2，且变量B取B1变量A取A2，且变量B取B2二、eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)三、90%95%99%[双基自测]1．Bχ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．2．Ca＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝60.3．0.164χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈0.164.授课提示：对应学生用书第56页探究一两个变量的独立性检验(两个事务不独立)[例1]某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20到40岁401858大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据分析，是否有99.9%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应当抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)随机变量χ2的概率分布：P(χ2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析](1)χ2＝eq\f(100×40×27－18×152,58×42×55×45)＝eq\f(24300,2233)≈10.88>10.828，所以有99.9%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关．(2)抽取的比例为eq\f(5,45)＝eq\f(1,9)，所以大于40岁的观众应当抽取eq\f(1,9)×27＝3(名)．(3)在年龄20至40岁的2名观众和年龄大于40的3名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).本题是利用公式求出χ2的值，再利用其与临界值的大小关系来推断独立性，解题时应留意精确代入数据与计算，不行错用公式，要精确地进行比较与推断．1．从发生汽车碰撞事故的司机中抽取2000名．依据他们的血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任．将数据整理如下：有无责任有无酒精有无总计有650150800无7005001200总么，司机对事故负有责任与血液中含有酒精是否有关系？若有关系，你认为在多大程度上有关系？解析：在假设“对事故负有责任与血液中含酒精没有关系”的前提下，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)≈114.9，且P(χ2≥10.828)≈0.001，而χ2的观测值χ2≈114.9，超过10.828，这就意味着“对事故负有责任与血液中含酒精没有关系”这一结论成立的可能性为0.001，即有99.9%的把握认为“对事故负有责任与血液中含有酒精之间有关系”．探究二两个变量的独立性检验(两个事务独立)[例2]探讨人员选取170名青年男女高校生的样本，对他们进行一种心理测验，发觉有60名女生对该心理测验中的最终一个题目的反应是：作确定的有18名，否定的有42名；110名男生在相同的题目上作确定的有22名，否定的有88名．问：性别与看法之间是否存在某种关系？用独立性检验的方法进行推断．[解析]依据题目所给数据列出下列表格：看法性别确定否定总计男生2288110女生184260总计40130170提出假设H0：性别与看法不存在某种关系，依据表中的数据得χ2＝eq\f(170×22×42－18×882,110×60×40×130)≈2.158.因为当H0成立时，2.158<2.706，所以没有充分的理由说明性别与看法有关．要得到两个变量之间有关或无关的精确的可信程度，需作独立性检验的有关计算，χ2越小变量间的关系越弱，当χ2≤2.706时，我们认为两个变量无关．2．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的爱好有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有爱好的有138人，无爱好的有98人，文科对外语有爱好的有73人，无爱好的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的爱好是否有关？解析：列出2×2列联表：理文合计有爱好13873211无爱好9852150合计236125361代入公式得χ2的观测值χ2＝eq\f(361×138×52－73×982,236×125×211×150)≈1.871×10－4.∵1.871×10－4<2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的爱好无关．探究三独立性检验的实际应用[例3]某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣扬：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”．经调查发觉，在不服用该药品的418人中仅有18人患A疾病．请用所学学问分析该药品对预防A疾病是否有效？[解析]将问题中的数据写成2×2列联表：患A疾病不患A疾病合计服用该药品5100105不服用该药品18400418合计23500523将上述数据代入公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)中，计算可得χ2≈0.0414，因为0.0414<2.706，故没有充分的理由认为该保键药品对预防A疾病有效．利用独立性检验可以帮助我们定量地分析两个分类变量之间是否有关系，因此利用它可以帮助我们理性地看待广告中的某些数字，从而不被某些虚假广告所蒙骗．3．对某校小学生进行心理障碍测试，得到如下列联表：焦虑说谎懒散总计女生5101530男生20105080总计252065110试说明在三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？解析：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中数据可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0.863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6.366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1.410.由于6.366>3.841,0.863<2.706,1.410<2.706，故有95%的把握认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示懒散、焦虑与性别有关．因不理解独立性检验的含义致误[典例]对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪探讨，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病总计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196总计68324392试依据上述数据，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．[解析]由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,39＋15729＋16739＋29157＋167)≈1.780.因为χ2＝1.780<2.706，所以我们没有充分证据显示“心脏搭桥手术”、“血管清障手术”与“又发作过心脏病”有关系，所以没有充分证据表明这两种手术对病人又发作心脏病影响有差别．[错因与防范]1.在解答时，在得到χ2≤2.706后，会得出错误结论：“我们判定又发作过心脏病和他是否做过这两种手术无关”，出错的缘由是没有弄清晰独立性检验中χ2≤2.706的含义．2．防范措施：(1)强化对概念或原理的理解数学概念或原理是一切学问生成和拓展的基础，正确理解数学概念或原理是解决数学问题的关键．如本例的求解主要涉及独立性检验的思想，即对“χ2≤2.706”(2)严格执行解题步骤此类题目的解答规律性强，近乎格式化，填表、计算、分析比较即可．假如χ2≤2.706，并不是表示两个变量没有关系，只有没有充分证据表明它们有关系而已，所以在解题中不要滥用．巴西医生马廷思收集的犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员的寿命的调查资料如下：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命