2025届高考数学统考第二轮专题复习第5讲平面向量学案理含解析

PAGE第5讲平面对量高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2024平面对量的模及运算·T14平面对量的数量积·T13平面对量的数量积、夹角及模的计算·T62024平面对量的数量积及夹角·T7平面对量的坐标运算与数量积·T3平面对量的数量积及夹角·T132024平面对量的线性运算·T6平面对量的数量积·T4平面对量的坐标运算·T131.[2024·全国新高考Ⅱ卷]在△ABC中,D是AB边上的中点,则CB= ()A.2CD+CA B.CD-2CAC.2CD-CA D.CD+2CA2.[2024·全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB= ()A.34AB-14AC BC.34AB+14AC D3.[2024·全国卷Ⅱ]已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC= ()A.-3 B.-2 C.2 D.34.[2024·全国卷Ⅲ]已知向量a,b满意|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= ()A.-3135 B.-C.1735 D.5.[2024·全国卷Ⅰ]设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.

6.[2024·北京卷]已知正方形ABCD的边长为2,点P满意AP=12(AB+AC),则|PD|=;PB·PD=.

平面对量的线性运算1(1)如图M2-5-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E是BC的中点,F是AE上一点,AF=2FE,则BF= ()图M2-5-1A.12AB-B.13ABC.-12AB+D.-13AB(2)在△ABC中,D为BC上一点,E是AD的中点,若BD=λDC,CE=13AB+μAC,则λ+μ= (A.13 B.-1C.76 D.-【规律提炼】处理平面对量问题一般可以从两个角度进行:(1)“恰当选择基底”.用平面对量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是进行数乘运算和利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算.(2)“坐标运算”.坐标运算能把学生从困难的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简洁求解的目的.测题1.已知向量a=(1+λ,2),b=(3,4),若a∥b,则实数λ= ()A.-113B.-52C.122.在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,E为BC的中点,则 ()A.AE=34AB+B.AE=32ABC.AE=14AB+D.AE=34AB平面对量的数量积2(1)已知向量b=12,32,向量a在向量b方向上的投影为-2.若(λa+b)⊥b,则实数λ的值为 ()A.14 B.-C.12 D.-(2)[2024·全国新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是 ()A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)【规律提炼】平面对量的数量积是高考的高频考点,主要集中在求夹角、模长,而且通常借助共线、垂直进行考查,其主要方法有几何法与坐标法,几何法注意平面几何的运算,解三角形等;坐标法常以代数运算为主,难度较小.测题1.已知向量a=(1,2),|b|=2,且a⊥b,则|a+2b|= ()A.13 B.17 C.13 D.172.在△ABC中,C=π2,AC=BC=2,点P是边AB上的动点,则CP·CA+CP·CB= (A.4 B.2 C.-2 D.-43.已知非零向量a,b,c满意a+b+c=0,a⊥b,(a-b)⊥c,M=|a||b|+|b||cA.3 B.32C.2+22 D.1+4.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与2a-b的夹角为.

平面对量数量积的应用3(1)在△AOB中,OA=a,OB=b,且满意a·b=|a-b|=|a|=2,则△AOB的面积为.

(2)如图M2-5-2所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平方向的夹角均为45°,|F1|=|F2|=102N,则物体的重力大小为N.

图M2-5-2【规律提炼】平面对量数量积问题主要是利用平面对量与平面几何相结合,解决相关问题.测题1.已知O,A,B三点不共线,∠AOB=θ,若|OA+OB|<|OA-OB|,则 ()A.sinθ>0,cosθ>0 B.sinθ>0,cosθ<0C.sinθ<0,cosθ>0 D.sinθ<0,cosθ<02.设O是△ABC所在平面上一点,点H是△ABC的垂心,OA+OB+OC=OH,且3·OA+OB+2·OC=0,则∠BAC的大小是 ()A.3π4 B.C.π2 D.第5讲平面对量真知真题扫描1.C[解析]方法一:因为D是AB边上的中点,所以CB=CD+DB=CD+12AB=CD+12(CB-CA),所以2CB=2CD+CB所以CB=2CD-CA.故选C.方法二:因为D是AB边上的中点,所以CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-CA)=2CD-CA.故选C.2.A[解析]因为AD为中线,E为AD的中点,所以EB=ED+DB=12AD+12CB=12×12(AB+AC)+12(AB-3.C[解析]BC=AC-AB=(3,t)-(2,3)=(1,t-3),所以|BC|=12+(t-3)2=1,解得t=3,所以BC=(1,0),所以AB·BC=(2,3)·4.D[解析]∵a·(a+b)=a2+a·b=25+(-6)=19,|a+b|=a2+2a·b+b2=25+2×(-6)+36=7,5.3[解析]由已知可得|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+1+2a·b=1,故2a·b=-1,因此|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2a·b=3,所以|a-b|=3.6.5-1[解析]方法一:因为AP=12(AB+AC),所以点P为BC的中点,又正方形ABCD的边长为2,所以|PD|=CD2+CP2=22+12=5,PB·PD=|PB|·|PD|·cos∠BPD=1×5×(-cos∠CPD)方法二:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为2,所以D(0,2),B(2,0).因为AP=12(AB+AC),所以点P为BC的中点,所以P(2,1),所以PB=(0,-1),PD=(-2,1),所以|PD|=(-2)2+1=5,PB·PD=0×(-2)+(-1)考点考法探究小题1例1(1)C(2)B[解析](1)连接AC,由题意得BF=BA+AF=-AB+23AE=-AB+23×12(AB+AC)=-AB+13(AB+AD+DC)=-AB+13AB+AD+12AB=-1(2)CE=13(CB-CA)+μAC=13CB+-13-μCA=λ+13CD+-13-μCA.因为E是AD的中点,所以CE=12(CD+CA),所以λ+13=12,-13-μ=12,解得λ=12【自测题】1.C[解析]∵a∥b,∴4(1+λ)-2×3=0,解得λ=12故选C.2.A[解析]依题意得AE=AB+BE,AE=AD+DC+CE,所以2AE=AB+AD+DC=AB+AD+12AB=32AB+AD,所以AE=34AB小题2例2(1)C(2)A[解析](1)因为向量a在向量b方向上的投影为-2,所以a·b|b|=-2,又由b=12,32得|b|=1,所以a·b=-2.因为(λa+b)⊥b,所以(λa+b)所以λa·b+b2=0,则有-2λ+1=0,解得λ=12.故选C(2)方法一:以A为原点,AB的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则AB=(2,0),AP=(x,y),∵-1<x<3,∴AB·AP=2x∈(-2,6).方法二:如图②,以{AB,AE}为基底,则<AB,AE>=π2,且|AB|=2,|AE|=23.∵P为正六边形内一点,∴AP=xAB+yAE,-12<x<32,则AP·AB=(xAB+yAE)·AB=xAB2=4x.∵-12<x<32,∴-2<方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,P是正六边形内一点,AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>,|AB|=2.|AP|cos<AP,AB>是AP在AB方向上的投影的大小.由图可得,当P位于C处时,|AP|cos<AP,AB>最大,又BC=2,∠CAB=30°,故此时|AP|cos<AP,AB>=23×32=3,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×3=6;当P位于F处时,|AP|cos<AP,AB>最小,又AF=2,∠FAB=120°,故此时|AP|cos<AP,AB>=2×-12=-1,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×(-1)=-2.∵P在正六边形内,∴AP·AB的取值范围为(-2,6).【自测题】1.A[解析]∵|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=5+8=13,∴|a+2b|=13.2.A[解析]∵在△ABC中,C=π2,∴CA·CB=0∵点P是边AB上的动点,∴设CP=λCA+(1-λ)CB,又∵AC=BC=2,∴CP·CA+CP·CB=CP·(CA+CB)=[λCA+(1-λ)CB]·(CA+CB)=λCA2+(1-λ)CB2=4λ+4(1-λ)=故选A.3.D[解析]由a+b+c=0,得a+b=-c.由(a-b)⊥c,得(a-b)·c=-(a-b)·(a+b)=b2-a2=0,所以|a|=|b|.又a⊥b,所以c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=2a2,故|c|=2|a|,所以M=|a||b|+|b||c|+|c||a4.π6[解析]设a与2a-b的夹角为θ,θ∈[0,π]由|a|=|b|=|a-b|得,a2=b2=a2+b2-2a·b,∴a2=b2=2a·b,|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=3|a|,a·(2a∴cosθ=a·(2a-b)|a||2a-∴θ=π6小题3例3(1)3(2)20[解析](1)∵a·b=|a-b|=|a|=2,∴a2+b2-2a·b=a2,∴b2=2a·b=4,∴|b|=2.∵a·b=|a||b|cos<a,b>=4cos<a,b>=2,∴cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],∴sin<a,b>=3∴S△AOB=12|a||b|sin<a,b>=12×2×2×32(2)如图,∵|F1|=|F2|=102N,F1·F2=0,∴|F1+F2|=(F1+F2)2∴物体的重力大小为20N.【自测题】1.B[解析]因为|OA+OB|<|OA-OB|,所以|OA+OB|2<|OA-OB|2,即|OA|2+2OA·所以OA·OB=|OA|·|OB|·cosθ<0,所以cosθ<0.又O,A,B三点不共线,所以θ∈π2,π