中考数学试卷（a卷）

中考数学试卷（a卷）

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共8题，共40分）

kx2k-1

1、已知x=3是分式方程不万-F-=2的解，那么实数k的值为（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【考点】

【答案】D

_kx_2k-1_3k_2k_-lo

【解析】解：将x=3代入—I-x=2,...23=

解得：k=2,

故选D【考点精析】解答此题的关键在于理解分式方程的解的相关知识，掌握分式方程无解（转化成

整式方程来解，产生了增根;转化的整式方程无解）；解的正负情况:先化为整式方程，求整式方程的解.

2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.abc<0,b2-4ac>0

B.abc>0,b2-4ac>0

C.abc<0,b2-4ac<0

D.abc>0,b2-4ac<0

【考点】

【答案】B

【解析】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a>0；

抛物线的对称轴在y轴右侧,则乂=-五>0,即bVO；

抛物线交y轴于负半轴，则c<0；

.*.abc>0,

...抛物线与X轴有两个不同的交点，

.,.△=b2-4ac>0,

故选B.

【考点精析】通过灵活运用二次函数图象以及系数a、b、c的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、

b、c的含义：a表示开口方向：aO时，抛物线开口向上；a0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴

为*二-"22;（；表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）即可以解答此题.

3、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【考点】

【答案】D

【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对

称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确.

故选D.

【考点精析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识点，需要掌握两个完全一样的图形关于某条直线

对折，如果两边能够完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线就对称轴才能正确解答此题.

4、下列计算正确的是（）

A.a5+a5=a10

B.a74-a=a6

C.a3*a2=a6

D.（-a3）2=-a6

【考点】

【答案】B

【解析】解：A.a5+a5=2a5,所以此选项错误；B.a7-ra=a6,所以此选项正确；

C.a3-a2=a5,所以此选项错误；

D.（-a3）2=a6,所以此选项错误；

故选B.

【考点精析】认真审题，首先需要了解同底数鬲的乘法（同底数鬲的乘法法则aman=am+n（m,n都是正

数）），还要掌握同底数鬲的除法（同底数鬲的除法法则：am-?an=am-n（a丰0,m,n都是正整数，且m>n））

的相关知识才是答题的关键.

5、学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如

下表：

则得分的众数和中位数分别为（）A.70分，70分B.80分，80分C.70分，80分D.80分，70分

【考点】

【答案】C

【解析】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；

处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分.

故选：C.

【考点精析】掌握中位数、众数是解答本题的根本，需要知道中位数是唯一的，仅与数据的排列位置

有关，它不能充分利用所有数据；众数可能一个，也可能多个，它一定是这组数据中的数.

6、如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（

【答案】C

【解析】解：从上边看一层三个小正方形，故选：C.

7、总投资647亿元的西域高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上

看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）

A.647X108

B.6.47X109

C.6.47X1010

D.6.47X1011

【考点】

【答案】C

【解析】解：647亿=64700000000=6.47X1010,

故选：C.

【考点精析】解答此题的关键在于理解科学记数法一表示绝对值较大的数的相关知识，掌握科学记数

法：把一个大于10的数记成aX10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

8、二次根式后万中，x的取值范围是（）

A.x21

B.x>1

C.xW1

D.x<1

【考点】

【答案】A

【解析】解：由题意可知：x-120,.o.x^1,

故选A.

【考点精析】关于本题考查的二次根式有意义的条件，需要了解被开方数必须为非负数，如果分母中

有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能做分母才能得出正确答案.

二、填空题（共9题，共45分）

11

9、在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x,y）,我们把点P'（"万）称为点P

k

的“倒影点”，直线y=-x+1上有两点A,B,它们的倒影点A，,B，均在反比例函数y=7的图象上.若AB=2点,

则k=.

【考点】

4

【答案】-3

1111

【解析】解：设点A（a,-a+1）,B（b,-b+1）（a<b）,则Az（a,=）,Bz（耳匚工），・.・AB=2值,

b-a-2,即b=a+2.

k

・・•点A',B，均在反比例函数y二G的图象上,

b=a+2

・•・“-0（1-0）一〃1一》），

解得：k二-.

所以答案是：

10、如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿NADC的平分线DE折叠，如图2,点C落在点I

处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A，处，折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,

【考点】

【答案】回

【解析】解：作GM_LAC'于M,A'N_LAD于N,AA'交EC'于K.易知MG=AB=AC',•.•GF±AA,,

/.ZAFG+ZFAK=90°,NMGF+NMFG=90°,

・•.NMGF=NKAC',

/.△AKC,0△GFM,

・・・GF=AK,

'/AN=4.5cm,A'N=1.5cm,C'K〃A'N,

KCAC

.二而二而

,,，

KC3

・・・C'K=1.5cm,

在RtAAC'K中，A")"。2+C^2=cm,

.*.FG=AK=cm,

所以答案是.

【考点精析】利用矩形的性质和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案I所以答案是：.

【考点精析】解答此题的关键在于理解实数与数轴的关系的相关知识，掌握实数与数轴上的点一一对

应.

12、已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且x12-x22=10,则a=.

【考点】

75

【答案】2

【解析】解：由两根关系，得根x1+x2=5,x1”2=a,由x12-x22=10得(x1+x2)(x1-x2)=10,

若x1+x2=5,即x1-x2=10,

(x1-x2)2=(x1+x2)2-2x1«x2=25-2a=100,

-,3-,

所以答案是：.

【考点精析】认真审题，首先需要了解根与系数的关系（一元二次方程ax2+bx+c=0（a手0）的根由方程

的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于

常数项除以二次项系数所得的商）.

13、已知。。的两条直径AC,BD互相垂直，分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，

现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在。0内的概率为P2,则

【考点】

2

【答案】彳

【解析】解：设。。的半径为1,则AD="/,故S圆0=n,

阴影部分面积为：n（丁）X2+X-n=2,

2n

贝I]pi=?r+2,P2=”+2,

在

故—=.

所以答案是：.

14、32。17_1）o=.

【考点】

【答案】1

【解析】解：（72017-D0=1.所以答案是：1.

【考点精析】解答此题的关键在于理解零指数寻法则的相关知识，掌握零次幕和负整数指数幕的意义:

a0=1（a丰0）;a-p=1/ap（a^O,p为正整数）.

15、在aABC中，NA：ZB：NC=2：3：4,则NA的度数为.

【考点】

【答案】400

【解析】解：；NA：ZB：NC=2：3：4,...设NA=2x,NB=3x,NC=4x,

NA+NB+NC=180°,

.,.2x+3x+4x=180°,

解得：x=20",

，NA的度数为：40。.

所以答案是：40°.

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，

只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

16、如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时，y1y2.(填

【考点】

【答案】<

【解析】解：由图象知，当x<2时，y2的图象在y1上右，:.y1>y2.

所以答案是：<.

17、如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AD

1

于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于，MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD

于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为.乂B

【考点】

【答案】15

【解析】解：：由题意可知，AQ是NDAB的平分线，ZDAQ=ZBAQ.

•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.CD/7AB,BC=AD=3,NBAQ=NDQA,

ZDAQ=ZDAQ,

••.△AQD是等腰三角形，

.0.D0=AD=3.

,/DQ=2QC,

13

.■.QC=2DQ=2,

9

；.CD=DQ+CQ=3+=2,

，平行四边形ABCD周长=2(DC+AD)=2X(+3)=15.

所以答案是：15.

【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平

行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题.

三、解答题(共9题，共45分)

18、随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘

坐地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与

文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表:

(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以

1

用y2=2x2-11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？

并求出最短时间.

【考点】

【答案】

(1)解：设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入得：

8k+b=18

Sk+b=20

心‘

解得：坨=2,

故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2

(2)解：设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则

1

y=y1+y2=2x+2+2x2-11x+78=x2-9x+80,

4x7x80-92

，当x=9时，y有最小值，ymin=4x?=39.5,

答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟

【解析】(1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；(2)设李华从文

化宫回到家所需的时间为y,则丫=丫1+丫2=*2-9*+80,根据二次函数的性质，即可得出最短时间.

19、如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点，顶点为D(0,4),

AB=4#,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180。，得到新的抛物线I.

(1)求抛物线C的函数表达式；

(2)若抛物线C，与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.

(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L上的对应

点P’,设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP，N能否成为正方形？若能，求出m的值;

若不能，请说明理由.

【考点】

【答案】

(1)

解：由题意抛物线的顶点c(0,4),A(2低，0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,

1

把A(2,0)代入可得a=-2,

••・抛物线C的函数表达式为y=-x2+4

(2)

解：由题意抛物线5的顶点坐标为(2m,-4),设抛物线5的解析式为y=(x-m)2-4,

1n

{y=-/+4

由y=#-2一)2—4,消去y得到x2_2mx+2m2-8=0,

由题意，抛物线L与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

(2m)2-4(2m2-8)>0

{2m>0

则有2m2-8>0,解得2cmV2,

•.・满足条件的m的取值范围为2VmV2

(3)

解：结论：四边形PMP'N能成为正方形.

理由：1情形1,如图，作PE_Lx轴于E,MH_Lx轴于H.

由题意易知P(2,2),当4PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP，N是正方形,

.,.PF=FM,ZPFM=90",

易证4PFE丝ZXFMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,

.1.M(m+2,m-2),

•.•点M在y=-x2+4上，

.'.in-2=-(m+2)2+4,解得-3或--3(舍弃)，

时，四边形PMP'N是正方形.

情形2,如图，四边形PMP，N是正方形，同法可得M(m-2,2-m),

把M(m-2,2-m)代入y=-x2+4中，2-m=-(m-2)2+4,解得m=6或0(舍弃),

，m=6时，四边形PMP，N是正方形

【解析】(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,把A(2,0)

代入可得@=-,由此即可解决问题；(2)由题意抛物线L的顶点坐标为(2m,-4),设抛物线L的解

析式为y=(x-m)2-4,由，消去y得到x2-2mx+2m2-8=0,由题意，抛物线L与抛物线C在y轴的右

侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；(3)情形1,四边形PMP，N能成为正方形.作

PE_Lx轴于E,MH^x轴于H.由题意易知P(2,2),当aFFM是等腰直角三角形时，四边形PMP，N是正

方形，推出PF=FM,ZPFM=90°,易证4PFE丝△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,可得M(m+2,m-2),

理由待定系数法即可解决问题；情形2,如图，四边形PMP，N是正方形，同法可得M(m-2,2-m),利

用待定系数法即可解决问题.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题

的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴3、顶点4、与x轴交点5、与y轴交点;

增减性：当aO时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当aO时，对称轴左

边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小.

20、问题背景：如图1,等腰AABC中，AB=AC,NBAC=120°,作ADLBC于点D,则D为BC的中点，

1BC25D

ZBAD=2ZBAC=60°,于是南=苏=招；迁移应用：如图2,AABC和4ADE都是等腰三角形，

(1)①求证：△ADBgZ\AEC；②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；

(2)拓展延伸：如图3,在菱形ABCD中，NABC=120°,在NABC内作射线BM,作点C关于BM的对称

点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.

①证明4CEF是等边三角形；

②若AE=5,CE=2,求BF的长.

【考点】

【答案】

(1)解：①证明：如图②

,.,ZBAC=ZADE=120°,

ZDAB=ZCAE,

在4DAE和4EAC中，

DA=EA

(/.DAB=/.EAC

AB=AC

.,.△DAB^AEAC,

②解：结论：CD=^3AD+BD.

理由：如图2-1中，作AH_LCD于H.

■.'△DAB^AEAC,

.-.BD=CE,

在RtaADH中，DH=AD«cos30°=2AD,

,/AD=AE,AH±DE,

.-.DH=HE,

­/CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD(2)解：：①证明:如图3中，作BH_LAE于H,连接BE.

•••四边形ABCD是菱形,NABC=120°,

「.△ABD,aBDC是等边三角形，

.,.BA=BD=BC,

,■•ExC关于BM对称，

.,.BC=BE=BD=BA,FE=FC,

，A、D、E、C四点共圆，

ZADC=ZAEC=120",

ZFEC=60",

.'.△EFC是等边三角形，

②解：；AE=5,EC=EF=2,

.-.AH=HE=2.5,FH=4.5,

在RtZiBHF中,ZBHF=30°,

HF

.•.丽=cos30°,

4.5

T

.,.BF=~=3

【解析】迁移应用：①如图②中，只要证明NDAB=NCAE,即可根据SAS解决问题；②结论：CD=AD+BD.由

△DAB也△EAC,可知BD=CE,在Rt/^ADH中，DH=AD・cos30°=AD,由AD=AE,AH±DE,推出DH=HE,由

CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD,即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH±AE于H,连接BE.由BC=BE=BD=BA,

FE=FC,推出A、D、E、C四点共圆，推出NADC=NAEC=120°,推出NFEC=60°,推出aEFC是等边三角形；

②由AE=5,EC=EF=2,推出AH=HE=2.5,FH=4.5,在Rt/XBHF中，由NBHF=30°,可得=cos30。，由此

即可解决问题.

21、随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识

的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，

并将调查结果绘制成下面两个统计

(1)本次调查的学生共有人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；

(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生，B1,B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做

环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

【考点】

【答案】

(1)50；360

(2)解：画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，

82

••.P(恰好抽到一男一女的)二迈互.

【解析】解：(1)44-8%=50(人)，1200X(1-40%-22%-8%)=360(人)；

所以答案是：50,360；

【考点精析】掌握扇形统计图和条形统计图是解答本题的根本，需要知道能清楚地表示出各部分在总

体中所占的百分比.但是不能清楚地表示出每个项目的具体数目以及事物的变化情况；能清楚地表示出每

个项目的具体数目，但是不能清楚地表示出各个部分在总体中所占的百分比以及事物的变化情况.

22、如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作圆0,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作

DH_LAC于点H,连接DE交线段0A于点F.

(1)求证：DH是圆。的切线;

EF

(2)若A为EH的中点，求丽的值;

(3)若EA=EF=1,求圆0的半径.

【考点】

【答案】

(1)证明：连接0D,如图1,

,.,OB=OD,

.".△ODB是等腰三角形，

NOBD=NODB①，

在aABC中，•••AB=AC,

NABC=NACB②，

由①②得：NODB=NOBD=NACB,

，OD〃AC,

•.-DH±AC,

.-.DH±OD,

，DH是圆0的切线

图1

(2)解：如图2,在。0中，；NE=NB,

...由(1)可知：ZE=ZB=ZC,

.,.△EDO是等腰三角形，

•.'DH±AC,且点A是EH中点，

设AE=x,EC=4x,则AC=3x,

连接AD,则在。0中，ZADB=90°,AD±BD,

,.•AB=AC,

，D是BC的中点，

.1■0D是4ABC的中位线，

13x

，OD〃AC,0D=，AC=X3x万，

•.,OD〃AC,

ZE=Z0DF,

在AAEF和△ODF中，

ZE=Z0DF,N0FD=NAFE,

.".△AEF^AODF,

EF_AE

.-.FD=OD,

X

/4F2

：.OD=2X=3,

EF

・•・丽二

E

图2

(3)解：如图2,设。。的半径为r,即OD=OB=r,

,/EF=EA,

/.ZEFA=ZEAF,

'/0D/7EC,

AZFOD=ZEAF,

则ZFOD=NEAF=NEFA=NOFD,

.'.DF=OD=r,

/.DE=DF+EF=r+1,

.'.BD=CD=DE=r+1,

在。0中，'.'ZBDE=ZEAB,

・•.ZBFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,

・・・BF;BD,△BDF是等腰三角形，

."■BF=BD=r+1,

/.AF=AB-BF=20B-BF=2r-(1+r)=r-1,

在△BFD和4EFA中，

乙BFD=Z.EFA

・.{zF=zE

•,

/.△BFD^AEFA,

EF_BF

.•・苏=而，

11+r

/.r-l=r,

1+1-

解得：r1=2,r2=2(舍)，

综上所述，。。的半径为

【解析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：Z0DB=Z0BD=ZACB,则DHLOD,DH是圆。的切线;

(2)如图2,先证明NE=NB=NC,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由0D是△ABC的中位

线，得：OD=AC=,证明△AEFS^ODF,列比例式可得结论；(3)如图2,设。。的半径为r,即OD=OB=r,

证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明△BFDs/\EFA,列比例式为：，则=,求出r的值即

可.

23、2)计算:|低-11-押+2sin45。+&)-2；

2x-7<3(x-l)(l)

(2)解不等式组：｛/+3K1-/②.

【考点】

【答案】

(1)解：原式=454-1-2+2X—2+4

=-1-2++4

=3

2x-7<3（x-l）（l）

（2）解:'/+3"1-/②，

①可化简为2x-7<3x-3,

-x<4,

x>-4,

②可化简为2xW1-3,则xW-1.

不等式的解集是-4VxW-1

【解析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幕法则计算即可得到结果.（2）

分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可.

【考点精析】解答此题的关键在于理解整数指数幕的运算性质的相关知识，掌握aman=am+n（m、n是正

整数）；（am）n=amn（m、n是正整数）;（ab）n=anbn（n是正整数）；am/an=am-n（a不等于0,m、n为正整数）;

（a/b）n=an/bn（n为正整数），以及对一元一次不等式组的解法的理解，了解解法：①分别求出这个不等式

组中各个不等式的解集；②利用数轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个

不等式组的解集.如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组

的解集为空集）.

1k

24、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y4的图象交于A（a,-

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过