六年级数学上册 1.圆 （含详解）（北师大版）

北师大版小学六年级数学上册期末复习专题讲义圆【知识点归纳】一．圆的认识与圆周率1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【典例分析】例1：圆周率π是一个（）A、有限小数

B、循环小数

C、无限不循环小数分析：根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可．解：根据圆周率的含义可知：圆周率π是一个无限不循环小数；故选：C．点评：此题考查了圆周率的含义．例2：把一个圆分成若干等份，然后把它剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28cm，这个长方形的宽是2cm，这个圆的面积是12.56cm2．分析：长方形的两个长的和即为圆的周长，利用圆的周长公式即可求出圆的半径，也就是长方形的宽；从而可求出圆的面积．解：C=2πr，r=C÷2π，=6.28×2÷6.28，=2cm；长方形的宽=2cm；圆的面积：3.14×22，=12.56cm2．故答案为：2，12.56．点评：此题主要考查圆的周长及面积公式，关键是明白圆的半径等于长方形的宽．二．圆、圆环的周长圆的周长=πd=2πr，半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长=πr+2r．圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长=πd1+πd2=2πr1+2πr2．【典例分析】例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（）A、直径

B、周长

C、面积分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．故选：B．点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（）A、2πr×

B、πr+r

C、（π+2）r

D、πr2．分析：根据半圆的周长公式：C=πr+2r，可求半圆的周长．解：πr+2r=（π+2）r．答：半圆的周长是（π+2）r．故选：C．点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．三．圆、圆环的面积圆的面积公式：S=πr2圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S=πr22-πr12=π（r22-r12）【典例分析】例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（）A、2倍

B、4倍

C、

D、分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，圆的面积=πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2=4倍，所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．故选：B．点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．解：因为10×10=100，所以正方形的边长是10厘米，所以圆的面积是：3.14×10×10=314（平方厘米）；周长是：3.14×10×2=62.8（厘米），答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．四．画圆圆规画圆步骤：1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；2、把有针尖的一只脚固定在一点上；3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．【典例分析】例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（）厘米．A、3

B、6

C、9

D、12分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．解：18.84÷3.14÷2=3（厘米）；答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．故选：A．点评：抓住圆规画圆的方法，利用C=2πr，即可解决此类问题．例2：画一个直径是4cm的圆．分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2=2厘米为半径，即可画出这个圆．解：4÷2=2（厘米），以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．同步测试一．选择题（共10小题）1．圆周率π是一个（）A．有限小数 B．无限不循环小数 C．无限循环小数 D．3.142．在一个边长是5cm的正方形内，画一个最大的圆．它的半径是（）A．5cm B．10cm C．任意长 D．2.5cm3．小圆半径是3厘米，大圆半径是5厘米，小圆面积是大圆面积的（）A． B． C． D．4．钟面上时针的长度1分米，一昼夜时针扫过的面积（）平方分米．A．2π B．12π C．24π D．48π5．用圆规画一个直径是3厘米的圆，它的两脚叉开的距离是（）A．3厘米 B．6厘米 C．1.5厘米6．把一个周长是18.84dm的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（）dm．A．15.42 B．9.42 C．12.24 D．不能计算7．在一个长10cm，宽8cm的长方形中切一个最大的圆，圆的面积的正确列式是（）A．3.12×102 B．3.14×82 C．3.14×（8÷2）2 D．3.14×（10÷2）28．小圆的直径等于大圆的半径，大圆的周长是小圆周长的（）A．8倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍9．一个半圆，半径是r，它的周长是（）A．π÷4 B．πr C．πr+2r10．一个圆的半径扩大4倍，面积扩大（）倍．A．4 B．8 C．16 D．2二．填空题（共8小题）11．在一个长3厘米，宽2厘米的长方形内，剪一个最大的圆，这个圆的半径是厘米．12．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形内画一个最大的圆，这个圆的半径是厘米．13．一个圆形粮仓的半径是3米，它的直径是厘米，周长是厘米．14．一块圆环形铁片的内圆半径是4cm，外圆半径是8cm，这块圆环形铁片的面积是cm2．15．长方形的面积S＝正方形的面积S＝圆的周长C＝圆的面积S＝16．两条同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆形，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是厘米．17．把一个圆沿半径剪开平均分成若干个小扇形，再拼成近似的长方形，长方形的长是12.56分米，这个圆的周长是分米，面积是平方分米．18．在同圆内，半径是直径的，直径是半径的．三．判断题（共5小题）19．直径相等的半圆周长是整圆的．（判断对错）20．通过圆心的线段是半径．（判断对错）21．推导圆的面积公式的方法中蕴含着转化的思想．（判断对错）22．在一个正方形内画一个最大的圆，正方形的面积是这个圆的．（判断对错）23．用圆规画圆，圆的大小是由圆规的两脚之间的距离来决定．（判断对错）．四．计算题（共2小题）24．求下列图形的周长．25．求出下面图形的周长和面积．（单位：厘米）（π＝3.14）五．应用题（共5小题）26．如图，在长方形中有两个大小相等的圆，已知这个长方形的宽是10cm，圆半径是多少厘米？长方形的周长是多少厘米？27．学校有一个圆形的荷花池，周长是94.2米．荷花池的占地面积是多少平方米？28．下面的每个小方格都表示边长1厘米的正方形．（1）在图中画一个直径4厘米的圆，再画一个半径3厘米的圆．（2）如果在图中画一个尽可能大的圆，这个圆的半径是厘米，直径是厘米．29．已知圆的周长和长方形的周长相等，长方形的宽是多少厘米？30．一个圆形的喷水池的直径是2.4m，绕这个喷水池走一圈大约是多少米？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】圆周率π是一个无限不循环小数，π＝3.141592653…，但在实际应用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．【解答】解：圆周率π是一个无限不循环小数，π＝3.141592653…．故选：B．【点评】通过本题我们要知道圆周率π≈3.14只是一个近似值．2．【分析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长即是5cm，半径是5÷2＝2.5cm．【解答】解：在一个边长是5cm的正方形内，画一个最大的圆．它的半径是2.5cm；故选：D．【点评】此题抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．3．【分析】可分别求得两个圆的面积是多少，再相除即得小圆的面积是大圆面积的几分之几．【解答】解：小圆面积：3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）；大圆面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）；小圆的面积是大圆面积的：28.26÷78.5＝．答：小圆的面积是大圆面积的．故选：B．【点评】此题也可根据大小圆的面积比等于它们半径的平方比来解答．4．【分析】根据题意，求一昼夜时针扫过的面积，就是求这个以1分米为半径的圆的面积的2倍，利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：π×12×2＝2π（平方分米），答：一昼夜时针扫过的面积是2π平方分米．故选：A．【点评】时针扫过的面积就是以时针的长度为半径的圆的面积，这里要注意一昼夜时针旋转了2周．5．【分析】圆规两脚间的距离即半径，根据“r＝d÷2”进行解答即可．【解答】解：3÷2＝1.5（厘米）；答：它的两脚叉开的距离是1.5厘米．故选：C．【点评】本题主要考查圆的认识，根据同圆或等圆中半径和直径之间的关系进行解答即可．6．【分析】先根据圆的周长公式求出这个圆的直径是18.84÷3.14＝6，再利用半圆的周长＝整圆的周长÷2+直径即可解答．【解答】解：18.84÷2+18.84÷3.14＝9.42+6＝15.42（分米）答：每个半圆的周长是15.42分米．故选：A．【点评】此题主要考查圆的周长和半圆的周长公式的灵活应用．7．【分析】根据题意可知，在这个长方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答．【解答】解：3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积是50.24平方厘米．故选：C．【点评】此题主要考查圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．8．【分析】可以设小圆的半径为r，则小圆的直径为2r，又根据小圆的直径等于大圆的半径，所以大圆的半径就为2r，然后代入圆周长公式分别求出大圆和小圆的周长来进行比较即可．【解答】解：设小圆半径为r，则大圆的半径就为2r；C小＝2πr；C大＝2π（2r）＝4πr；C大÷C小＝4πr÷2πr＝2；答：大圆的周长是小圆周长的2倍．故选：D．【点评】此题考查了对圆的周长公式C＝2πr的理解和灵活运用情况．9．【分析】半圆的周长＝圆周长的一半+直径，据此列式即可得解．【解答】解：2πr÷2+2r＝πr+2r答：它的周长是πr+2r．故选：C．【点评】此题考查半圆周长的计算方法，要记住半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度，推出公式为C＝πr+2r．10．【分析】这道题中圆的半径不是一个具体的数字，像这种情况下，我们可以采用假设法，把它的半径假设成一个具体的数，根据面积公式算出它们原来和扩大后的面积，再用除法算一算它的面积扩大多少倍．【解答】解：假设这个圆原来的半径是1厘米，则扩大4倍后半径是4厘米，原来圆的面积S＝πr2＝π×12＝π（平方厘米），扩大后圆的面积S＝πr2＝π×42＝16π（平方厘米），16π÷π＝16，答：面积扩大16倍．故选：C．【点评】此题主要考查一个因数不变，积随着另一个因数变化的规律，关键要理解圆的半径扩大4倍，那么面积就扩大4的平方倍．二．填空题（共8小题）11．【分析】要使所剪的圆最大，实际就是以长方形的宽为直径剪出的圆，由此根据d＝2r列式解答即可．【解答】解：圆的半径：2÷2＝1（厘米）答：这个圆的半径是1厘米．故答案为：1．【点评】解答此题的关键是明白：在这个长方形内剪一个最大的圆，圆的直径应等于长方形的宽，据此即可逐步求解．12．【分析】由题意可知，在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，据此解答．【解答】解：如图：6÷2＝3（厘米）答：这个圆的半径是3厘米．故答案为：3．【点评】此题主要考查圆的面积计算，解答关键是理解在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽．13．【分析】根据直径公式d＝2r，周长公式C＝2πr，即可求出圆的直径、周长．注意单位换算．【解答】解：直径：3×2＝6（米）6米＝600厘米；周长：2×3.14×3＝18.84（米）18.84米＝1884厘米答：它的直径是600厘米，周长是1884厘米．故答案为：600；1884．【点评】本题主要利用圆的直径公式d＝2r、周长公式C＝2πr解决问题．14．【分析】已知内、外圆的半径，要求圆环的面积，可直接利用公式S圆环＝π（R2﹣r2）列式解答即可．【解答】解：3.14×（82﹣42）＝3.14×（64﹣16）＝3.14×48＝150.72（平方厘米）答：这个环形铁片的面积是150.72平方厘米．故答案为：150.72．【点评】解答此类型的题目要先知道各自的半径，再利用公式进行计算．15．【分析】长方形的面积＝长×宽，即S＝ab；正方形的面积＝边长×边长，即S＝a2；圆的周长C＝2πr＝πd，圆的面积S＝πr2据此解答即可．【解答】解：长方形的面积S＝ab；正方形的面积S＝a2；圆的周长C＝2πr＝πd圆的面积S＝πr2．故答案为：ab，a2，2πr＝πd，πr2．【点评】此题主要考查的是正方形和长方形面积公式，圆的面积公式和周长公式的掌握情况．16．【分析】一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长6.28厘米，则可求正方形的周长，也就是圆的周长，进而根据C＝2πr可求圆的半径是多少．【解答】解：圆的周长（正方形的周长）：6.28×4＝25.12（厘米）圆的半径：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（厘米）答：圆的半径是4厘米．故答案为：4．【点评】此题综合考查圆的周长，分析题干中的数量关系，据已知运用公式求解即可．17．【分析】由题意可得：长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径，长方形的长已知，即可得出圆周长和半径，进一步根据圆的面积公式：S＝πr2得出圆的面积．【解答】解：12.56×2＝25.12（分米）25.12÷3.14÷2＝4（分米）3.14×42＝50.24（平方分米）答：这个圆的周长是25.12分米，面积是50.24平方分米．故答案为：25.12，50.24．【点评】此题主要考查圆的面积公式的推导过程，明白：长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径．18．【分析】依据圆的认识，及在同一个圆中半径与直径的关系：在同圆或等圆里，有无数条半径，无数条直径，直径是半径的2倍，半径相当于直径的一半；由此解答即可．【解答】解：在同圆内，半径是直径的一半，直径是半径的2倍．故答案为：一半，2倍．【点评】此题主要考查了圆的认识，灵活掌握圆的特征是解答本题的关键．三．判断题（共5小题）19．【分析】半圆的周长为整圆周长的一半再加上一条直径，据此解答即可．【解答】解：直径相等的半圆周长是整圆周长的一半再加上一条直径，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要考查的是半圆周长的意义及求法．20．【分析】根据直径、半径的定义，通过圆心并且两个端点都在圆上的线段叫做直径，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径．据此判断．【解答】解：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段．所以，通过圆心的线段是半径．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握直径、半径的定义及应用．21．【分析】把圆分成若干份拼摆成近似的长方形，长方形的宽相当于圆的半径，长相当于圆的周长的一半．根据长方形的面积计算公式，推导出圆的面积计算公式．【解答】解：把圆分成若干份拼摆成近似的长方形，长方形的宽相当于圆的半径，长相当于圆的周长的一半．根据长方形的面积计算公式，推导出圆的面积计算公式．所以推导圆的面积公式的方法中蕴含着转化的思想．所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】重点考查圆的面积计算公式的推导，用了转化的思想方法．22．【分析】在一个正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，可设圆的半径为r，则圆的直径为2r，正方形的边长为2r，由此利用圆的面积公式和正方形的面积公式即可解答．【解答】解：设圆的半径为r，则圆的直径为2r，正方形的边长为2r，圆的面积：πr2正方形的面积：2r×2r＝4r24r2÷（πr2）＝4÷π＝答：正方形的面积是这个圆的．所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查的是正方形面积公式和圆的面积公式的灵活应用．23．【分析】圆规在画圆时，有针的一脚不动，即圆心，有笔头的一脚旋转一周，得到圆，两脚之间的距离就是圆的半径，所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．【解答】解：由分析可知：用圆规画圆，圆规两脚间的距离是圆的半径，半径决定圆的大小．故答案为：√．【点评】此题主要考查了圆的画法和各部分作用．四．计算题（共2小题）24．【分析】根据题意，半圆的周长等于半圆所在圆周长的一半再加上一条直径的长即可，根据圆的周长公式C＝πd进行计算即可得到答案．【解答】解：3.14×24÷2+24＝3.14×12+24＝37.68+24＝61.68（米）．答：这个半圆的周长是61.68米．【点评】解答此题的关键是确定半圆的周长等于半圆所在圆周长的一半加一条直径的长．25．【分析】环形的周长等于大小圆的周长和，根据圆的周长公式：C＝2πr，根据环形面积公式：S环形＝π（R2﹣r2），把数据分别代入公式解答．【解答】解：3.14×4×2+3.14×2×2＝25.12+12.56＝37.68（厘米）3.14×（42﹣22）＝3.14×（16﹣4）＝3.14×12＝37.68（平方厘米）；答：它的周长是37.68厘米，面积是37.68平方厘米．【点评】此题主要考查圆的周长公式、环形民间故事的灵活运用，关键是熟记公式．五