2020-2021学年高中数学-第五章-数列-5.1.2-数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册

2020-2021学年高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册2020-2021学年高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册2021学年高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册2020-2021学年高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推学案新人教B版选择性必修第三册年级：姓名：5．1.2数列中的递推最新课程标准1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．理解数列中的an与Sn的关系.[教材要点]知识点一数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的________________；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．eq\x(状元随笔)由数列的递推公式能否求出数列的项？[提示]能，但是要逐项求．知识点二数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项________(或前几项)之间的关系表示an与________之间的关系联系(1)都是表示________的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式知识点三an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(，n＝1，,，n≥2.))特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．[基础自测]1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于()A．6B．7C．8D．92．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝eq\f(n,n－1)·an－1(n≥2)，则a4＝________.3．已知数列{an}中，a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a5＝________.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.

题型一由递推关系写数列的项例1(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2018＝2，则a2019＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为()A．31B．32C．61D．62方法归纳由递推公式写出数列的项的方法1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝eq\f(an－1,2).跟踪训练1已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝eq\f(2an,an＋2)给出，试写出这个数列的前5项．题型二由an与Sn的关系求通项公式例2已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.方法归纳已知Sn求an的三个步骤1．利用a1＝S1求出a1.2．当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．3．看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练2已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.题型三数列的递推公式与通项公式的关系eq\x(状元随笔)1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？[提示]由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．2．在数列{an}中，a1＝3，eq\f(an＋1,an)＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？[提示]按照eq\f(an＋1,an)＝2可得eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2，eq\f(a4,a3)＝2，…，eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝2·2·…·2.则eq\f(an,a1)＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？[提示]由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．

例3设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝eq\f(n,n＋1)an(n∈N＋)，求数列的通项公式．eq\x(状元随笔)由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝eq\f(n,n＋1)an反复迭代；或将an＋1＝eq\f(n,n＋1)an变形为eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)进行累乘；或将an＋1＝eq\f(n,n＋1)an变形式eq\f(n＋1an＋1,nan)＝1，构造数列{nan}为常数列．方法归纳由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：1．累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．2．累乘法：当eq\f(an,an－1)＝g(n)时，常用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1求通项公式．跟踪训练3已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．教材反思1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．4．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.eq\x(温馨提示：请完成课时分层作业二)5．1.2数列中的递推新知初探·自主学习知识点一(1)首项(或前几项)(2)递推知识点二an－1n数列知识点三S1Sn－Sn－1[基础自测]1．解析：因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.答案：C2．解析：依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝eq\f(3,2)a2＝3；当n＝4时，a4＝eq\f(4,3)a3＝4.答案：43．解析：因为a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，所以a2＝1－eq\f(1,a1)＝1＋2＝3，a3＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a4＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)，a5＝1＋2＝3.答案：34．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))课堂探究·素养提升例1解析：(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝eq\f(1,an＋1)，又∵a2018＝2，∴a2019＝eq\f(1,3)，故选B.(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.答案：(1)B(2)A跟踪训练1解析：∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴a2＝eq\f(2a1,a1＋2)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2a2,a2＋2)＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(2a3,a3＋2)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，a5＝eq\f(2a4,a4＋2)＝eq\f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2)＝eq\f(1,3).故该数列的前5项为1，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,5)，eq\f(1,3).例2解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.答案：4n－5跟踪训练2解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))例3解析：因为an＋1＝eq\f(n,n＋1)an.法一：(归纳猜想法)a1＝1，a2＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，…猜想an＝eq\f(1,n).法二：(迭代法)因为an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，所以an＝eq\f(n－1,n)an－1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)an－2＝…＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(1,2)a1，从而an＝eq\f(1,n).法三：(累乘法)因为an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，则eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,n).法四：(转化法