2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-49-圆的方程

2022版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程2022版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程PAGE2022版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程2022版高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程年级：姓名：课后限时集训(四十九)圆的方程建议用时：40分钟一、选择题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.]2．(2020·西城二模)圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于()A．2 B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．4B[令y＝0得x2＋4x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(3).]3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7A[设圆心C(x，y)，则eq\r(x－32＋y－42)＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.]4．(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为()A．4 B．6C．3eq\r(2)＋1 D．8ABC[如图．圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3,3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为eq\r(－3－02＋3＋12)＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6.选项ABC中的值均符合，只有D不符合．故选ABC.]5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,2)C[设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]6．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)ACD[因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)5＝25，将点(2，－1)代入可知满足圆的方程，故C正确；它们的圆心距为eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正确．]二、填空题7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．(x－2)2＋(y－1)2＝1[设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]8．(2020·湖北随州期末)已知O为坐标原点，直线l与圆x2＋y2－6y＋5＝0交于A，B两点，|AB|＝2，点M为线段AB的中点．则点M的轨迹方程是________，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的取值范围为________．x2＋(y－3)2＝3[6－2eq\r(3)，6＋2eq\r(3)][由题意，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心为C(0,3)，半径R＝2，设圆心到直线l的距离为d，可得|AB|＝2eq\r(R2－d2)，即2＝2eq\r(4－d2)，整理得d＝eq\r(3)，即|MC|＝eq\r(3)，所以点M的轨迹表示以C(0,3)为圆心，以eq\r(3)为半径的圆，所以点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3.根据向量的运算可得|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OM,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|，又|OC|＝3，所以|OC|－eq\r(3)≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤|OC|＋eq\r(3)，即3－eq\r(3)≤|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤3＋eq\r(3)，所以6－2eq\r(3)≤2|eq\o(OM,\s\up6(→))|≤6＋2eq\r(3)，即|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的取值范围为[6－2eq\r(3)，6＋2eq\r(3)]．]9．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是________．eq\r(2)＋1[将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1.]三、解答题10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．[解](1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①又直径|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10).所以(a＋1)2＋b2＝40. ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.11.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2eq\r(6)，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．[解](1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(eq\r(6)，3)，D(－eq\r(6)，3)，设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq\r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1.所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5,2y－2)．将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(5,2).1．(多选)(2020·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)AC[原点O到直线l的距离为d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值．连接OP，OQ(图略)，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，故四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，设点A的坐标为(t，eq\r(2)－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故选AC.]2．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq\f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2[设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]3．动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．[解](1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4.∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(－m,0)，半径为eq\f(|AB|,2)＝eq\f(|x2－x1|,2)＝eq\f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq\r(m2＋4).∴动圆C的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4.(2)证明：设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0，y1)，令y＝0，则x2＋Dx＋F＝0，由题意可知D＝2m，F＝－4，又动圆C过点M(0,1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3.令x＝0，则y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，∴y1＝－4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1－1|＝5.故动圆C在y轴上截得弦长为定值．1．(2020·青岛模拟)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.给出以下4个结论：①曲线W与x轴围成的面积等于2π；②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；③eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1；④eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))与eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))的公切线方程为：x＋y＝eq\r(2)＋1.则上述结论正确的是()A．①②③④ B．②③④C．①②③ D．②③B[曲线W与x轴的图形为以(0,1)圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq\f(1,2)π＋2×eq\f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故②正确；eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设eq\o\ac(CB,\s\up10(︵))与eq\o\ac(BA,\s\up10(︵))的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y＝1＋eq\r(2)，故④正确．故选B.]2．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．[解]由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,