专题十一 四边形 考点卡片-2021年中考数学二轮复习

考点卡片

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变

化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问

题.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到j轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距

离求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

3.垂线段最短

垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是

相对于这点与直线上其他各点的连线而言.

实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最

短”这两个中去选择.

4.点到直线的距离

点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它

只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.

5.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位

角相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同

旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错

角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

6.三角形内角和定理

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个

内角均大于0°且小于180°.

三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平

角.在转化中借助平行线.

三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关

系，用代数方法求三个角：③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐

角.

7.三角形的外角性质

三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的

外角.

8,全等三角形的判定

判定定理I：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

判定定理3：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

判定定理4：/MS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，

若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若己知两角对应相等，则必须再找一组

对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一

组对应邻边.

9,全等三角形的判定与性质

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形

全等时，关键是选择恰当的判定条件.

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线

构造三角形.

10.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在NZO8的平分线上，CEYOB：.CD=CE

11.线段垂直平分线的性质

定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

垂直平分线，简称“中垂线”.

性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.一③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并

且这一点到三个顶点的距离相等.

12.等腰三角形的性质

等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任

意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

13.直角三角形的性质

有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性

质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角

形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于

30°.

14.直角三角形斜边上的中线

性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为

斜边的直角三角形.

该定理可一用来判定直角三角形.

15.勾股定理

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+b2=c2.

勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22

勾股定理公式。2+廿=。2的变形有：a=^c2_b2,b=,c2_a2及c=7a+b-

由于/+/=。2>“2,所以c>“，同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每

一条直角边.

16.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,h,C满足/+必=/,那么这个三角形就是直

角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他

已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的

两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

17.等腰直角三角形

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角

三角形的所有性质.即：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线

合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径；

若设等腰直角三角形内切圆的半径「=1,则外接圆的半径尺=&+1,所以r：R=LV2

+1.

18.三角形中位线定理

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

几何语言：

如图，•.•点。、E分别是“8、4C的中点

：.DE//BC,DE=—BC.

19.多边形

多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所

在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180°,通常所说的

多边形指凸多边形.

重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态,

此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心线段：中点平行四边形：对角线的交点三角形：三边中线的交点任意

多边形.

20.多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

〃边形从一个顶点出发可引出条对角线.从〃个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以〃

边形对角线的总条数为：”2

对多边形对角线条数公：n2的理解：〃边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连

成对角线，故可连出条.共有〃个顶点，应为〃条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以

再除以2.

利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程

思想，解方程求〃.

21.多边形内角与外角

多边形内角和定理：780°

此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出条对角线，将〃边形分割为个三角形,

这个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但

这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的

方法.

多边形的外角和等于360°.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则〃边形取〃个外角，无论边数是几，其外

角和永远为360°.

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°个-780°=360°.

22.平面镶嵌

平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之间

不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.

正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形

的内角之和为360°.

判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，

若能构成360。，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能.

单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形.

两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正

三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等.

用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.

23.平行四边形的性质

平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

平行线间的距离处处相等.

平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底同高的平行四边形面积相等.

24.平行四边形的判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：8c.•.四边行

ABCD是平行四边形.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：•••/8=OC,4O=8C...四边行

是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：/8=。（7；.四边行/8。。是平行四边形.

两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：VZABC=AADC,四边行/BCD是平行四边形.

对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：•••O/=OC,。8=。。；.四边行48。。

A

D

O

是平行四边形.src

25.平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平

行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考

虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边

形是平行四边形达到上述目的.

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的

定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行

四边形的性质和判定去解决问题.

26.菱形的性质

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=/附.

27.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

几何语言：四边形是平行四边形•••平行四边形N88是菱形

A

D

0

ff'C

28.菱形的判定与性质

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，

中点四边形的形状始终是平行四边形.

菱形的中点四边形是矩形—菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形,

但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的

性质和不同于平行四边形的判定方法.

正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是

正方形.

29.矩形的性质

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半.

30.矩形的判定

矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形

①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的

对角线相等.

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.

31.矩形的判定与性质

关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形,

进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形

的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等

有关的问题.

下面的结论对于证题也是有用的：①△0/8、/XOBC都是等腰三角形；②NOAB=/OBA,

N0CB=N0BC；③点。到三个顶点的距离都相等.

32.正方形的性质

正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形,

有四条对称轴.

33.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

34.正方形的判定与性质

正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

35.梯形

梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的

距离叫梯形的高.

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

性质：

①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；

②等腰梯形同一底上的两个角相等；

③等腰梯形的两条对角线相等.

由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成

矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这

中点四边形.

38.四边形综合题

四边形综合题.

39.作图一基本作图

基本作图有：

作一条线段等于已知线段.

作一个角等于已知角.作己知线段的垂直平分线.作已知角的角平分线.过

一点作已知直线的垂线.

40.轴对称图形

轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称.

轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部

分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无

数条.

常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

41.翻折变换

1、翻折变换实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到

图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要

求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择

适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题,

设出正确的未知数.

42.平移的性质

平移的条件

平移的方向、平移的距离

平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和

大小完全相同.—②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两

个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

43.坐标与图形变化-旋转

关于原点对称的点的坐标

PnP

旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求