85空间直线平面的平行（十五大题型）

8．5空间直线、平面的平行【题型归纳目录】题型一：基本事实4的应用题型二：等角定理的应用题型三：直线与平面平行的判断定理的理解题型四：直线与平面平行的判定题型五：补全直线与平面平行的条件题型六：直线与平面平行的性质题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系题型八：由线面平行的性质求长度问题题型九：平面与平面平行的判定定理的理解题型十：平面与平面平行的判定题型十一：补全平面与平面平行的条件题型十二：平面与平面平行的性质题型十三：由面面平行证线面平行题型十四：空间平行的转化题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．图形语言：符号语言：、，．知识点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．知识点四、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．图形语言：符号语言：若、，，且、，则．知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．知识点五、判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．知识点六、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．知识点七、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．知识点八、空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【典型例题】题型一：基本事实4的应用【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．例1．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【解析】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．例2．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直线MN与直线EF平行．例3．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直线EF即为所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC.题型二：等角定理的应用【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．例4．（2023·高一单元测试）空间两个角和，若，，，则的大小是______．【答案】或【解析】空间两个角和，因为，且，则或.故答案为：或.例5．（2023春·全国·高一专题练习）已知，，，则_________.【答案】或【解析】利用等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故，,则有或,又,所以或，故答案为：或例6．（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______【答案】【解析】依题意且，所以四边形为平行四边形，所以，同理可得，所以或与互补，显然与不互补，所以；故答案为：变式1．（2023春·全国·高一专题练习）空间两个角的两边分别平行，则这两个角_____．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理有：当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当角的两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．故答案为：相等或互补．变式2．（2023·高一课时练习）若角和角的两边分别对应平行，则当时，____________．【答案】或【解析】当角和角方向相同时，；当角和角方向相反时，，即，解得．故答案为：或题型三：直线与平面平行的判断定理的理解【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）（1）明确判定定理的关键条件．（2）充分考虑各种可能的情况．（3）特殊的情况注意举反例来说明．例7．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列有五个命题：①若直线a平面，a平面，则am；②若直线a平面，则a与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤对于异面直线a、b存在唯一一对平面、β使得a⊂平面，b⊂平面β，且β.其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，直线平面，直线平面，，过a作平面交平面于c，作平面交平面于d，则，，所以，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，①正确；对于②，直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，所以②错误；对于③，直线平面，平面平面，可能平面，所以③错误；对于④，，直线平面，可能平面，所以④错误；对于⑤，一对异面直线a，b，过a作与b平行的平面，过b作与a平行的平面，使得，所以⑤正确；故选：C.例8．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【解析】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C例9．（2023·高一单元测试）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QDAB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A变式3．（2023春·浙江·高一期中）下列命题中正确的是（

）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则C．，，则D．，，，则【答案】D【解析】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于B：由题意可得：或与相交，B错误；对于C：根据题意可得：或，C错误；对于D：∵，则，使得，则∴∴，D正确；故选：D.变式4．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，分别是的中点，则下列说法中错误的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】如图所示，连接和相交于点O，则O为，的中点.对于A，连接，则,因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，易知,因为平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，因为,所以与平面相交，故C错误；对于D，易知,因为平面,平面，所以平面，故D正确.故选:C.变式5．（2023·高一课时练习）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定【答案】A【解析】因为，所以．又平面平面，所以平面．故选：A题型四：直线与平面平行的判定【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项）（1）欲证线面平行可转化为线线平行解决．（2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形．例10．（2023·全国·高一专题练习）长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面.【解析】证明：连结、、.由已知可得，点是的中点，点是的中点，所以，是的中位线，所以.又平面，平面，所以平面.例11．（2023·高一课时练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，为AC、BD的交点.(1)求证：平面PCD；(2)图中EO还与图中哪个平面平行？【解析】（1）因为E，为PB，BD的中点，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）因为，平面，平面，所以平面.例12．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)平面．【解析】（1）由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，所以且，所以为平行四边形.（2）由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.变式6．（2023·高一课时练习）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．(1)求证：平面PEC；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，因为F是的中点，所以，因为E是AB的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，所以三棱锥的体积为：＝．变式7．（2023·高一单元测试）如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，又为的中点，则有，而平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，，，的面积，所以求三棱锥的体积．变式8．（2023·高一课前预习）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【解析】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，又因为E为的中点，所以是的中位线，所以，又平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD.（2）因为，又平面，所以三棱锥的高为，∴.题型五：补全直线与平面平行的条件【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法）（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．例13．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面.（2）假设在棱上存在点，使得平面，延长交于，连接交于，，为中点，为中点，，，，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，；当时，平面.例14．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.【解析】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，.为的中点，，即四边形为平行四边形，.平面平面平面.（2）设，取中点，连接，则在中，分别是的中点，平面平面，平面.与相似，且相似比为，为的三等分点.在点位置时满足平面.即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.例15．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．【解析】当D为AC中点时，平面．理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面．变式9．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵是正四棱柱，∴，四边形是矩形，∴，∴求异面直线与所成角的余弦值即是求与所成角的余弦值，在中，，，∴；（2）如图，当点为的三等分点（靠近点）时，使得平面，作的中点，连接，，连接交于点，连接，由棱柱的性质可知，∴四边形是平行四边形，∴，又∵点，分别是，的中点，∴，由平面公理4可得，又∵平面，平面，∴平面，此时．变式10．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.【解析】（1）AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时，理由如下：当时，，如图，过点P作MFD交AF于点M，连接ME，则，∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MPFDEC，∴MPEC，故四边形MPCE为平行四边形，∴CPME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，∴CP平面ABEF；（2）设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x，故，∴当x＝3时，有最大值，且最大值为3，此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，，∴，，在△ACD中，由余弦定理得，，，设到平面的距离为，，，.综上，存在点P，使得CP//平面ABEF，，三棱锥的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为题型六：直线与平面平行的性质【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）（1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用．（2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质．例16．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【解析】证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.例17．（2023·全国·高一专题练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．【解析】证明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因为点是的中点，所以是中点．例18．（2023·全国·高一专题练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．【解析】证明：连结，交于点，连结.因为四边形为平行四边形，所以是的中点.又是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以．变式11．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；(2)求证：.【解析】（1）∵，平面平面，∴平面.∵平面，平面平面，∴.∵平面平面，

∴平面.（2）连接，设，，连接，∵平面平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴点是的重心，∴点是的中点，∴，∴，∴.变式12．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F．证明：.【解析】因四边形，ABCD均为正方形，则，且，因此四边形为平行四边形，于是得，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以.题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系例19．（2023·高一单元测试）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.【解析】（1）取中点为，连接，在中，为的中点，为中点，，在平行四边形中，为的中点，，，四边形为平行四边形，面面，平面；（2）连接，相交于，连接，面，面面面，，，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.例20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值【解析】如图，过点作交于点，连接，，，与确定一个平面，平面，平面平面，，四边形为平行四边形，，又，，，.例21．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值【解析】连接与交于点，连接，∵，，∽，，又∵平面，平面，且平面平面∴，即变式13．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．(1)求证：平面；(2)求证：F为的中点；(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）连接交于，连接，如下图：由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，所以为中位线，则，又面，面，故平面；（2）由题设知：，面，面，所以面，又面，面面，所以，又E为棱的中点，即是△的中位线，故F为的中点；（3）存在N使得平面且，理由如下：为中点，连接，由题设且，由（2）知且，所以且，即为平行四边形，所以，而面，面，所以面，故所求点即为点，则上存在点N使得平面，且.题型八：由线面平行的性质求长度问题例22．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.【解析】（1）存在，；理由如下：连接并延长，交于，连接.因为正方形中，，所以;又因为，所以；平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，所以；中，，所以；因为，所以所以.例23．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长．【解析】因为，所以点与直线a可以确定一个平面，即平面．因为，且平面，平面，所以，即，所以．于是．例24．（2023春·全国·高一专题练习）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．【解析】连接，交于点，连接，则为的中点．平面，平面，平面平面，，又为中点，为中点，，则在中，.变式14．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.【解析】（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.（2）设，∵EF∥AB，FG∥CD，∴，则＝＝＝1－，∴.∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).变式15．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.(1)若求三棱锥的体积；(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1），由面面且交线是，又，面，所以平面，又MD，点到平面的距离是，又，则，三棱锥的体积.（2）存在.，连接并延长至于交于点，，在中：，在中：在上取点，使得，而，则，又平面，平面，平面，在中，，.题型九：平面与平面平行的判定定理的理解例25．（2023·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.其中正确的命题是（）A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】对于①，由平行的传递性公理，则正确；对于②，由，，则共面或异面，故错误；对于③，由，，则或，故错误；对于④，由，，则平行或相交，故错误；对于⑤，由，，，根据线面平行判定定理，可得，故正确.故选：A.例26．（2023·全国·高一专题练习）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以因为，，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D例27．（2023春·全国·高一专题练习），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】A项：若，，则或，故选项A不正确；B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.故选：C.变式16．（2023·全国·高一专题练习）下列条件中能推出平面平面的是（

）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，【答案】D【解析】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；C.如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；故选：D题型十：平面与平面平行的判定例28．（2023·全国·高一专题练习）P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.【解析】（1）证明：如图所示：，取PC中点H，分别连接EH，FH，∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，∴，∴EAFH为平行四边形．∴EA∥FH.又平面PCF，平面PCF，∴AE∥平面PCF.（2）∵E，G分别为PD，CD的中点，∴EG∥PC.又平面PCF，平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.例29．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【解析】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是的中位线，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四点共面．（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EFBC，∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.例30．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO．【解析】由题意可得：分别为的中点，则，平面，平面，∴平面，连接，由题意可得：分别为的中点，则，且，∵，且，则，且，故为平行四边形，则，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面PAO.变式17．（2023·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.(1)求证：MN//QS；(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；(3)求证：平面ACD1//平面α.【解析】（1）证明：连接，，，如图，正方体中，，四边形为平行四边形，则有，、、、分别是被、、、的中点，，，．（2）取、中点、，连接、、、、、，如图，则正六边形为平面被该正方体所截的多边形截面，，．（3），平面，平面，平面，又、分别、的中点，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面．变式18．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：(1)平面；(2)平面平面．【解析】（1）在三棱柱中，分别为的中点，，平面平面，平面．（2）平面，平面，平面．分别为的中点，，，且．四边形是平行四边形．．又平面平面，平面．又平面，平面平面．题型十一：补全平面与平面平行的条件例31．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因为，，平面，所以平面平面.例32．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．因为为的中点，所以，．又，，所以，．因此四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）如图所示，取的中点，连接，，所以又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因为，故平面平面．例33．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．【解析】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．变式19．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.(1)证明：平面；(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.【解析】（1）证明：取的中点，连接.中，分别为的中点，，分别为的中点，，，故四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）取中点为，连接，，在中，分别为的中点，，平面平面，平面.因为且，且、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，且，平面平面，平面.又，且平面，故平面平面.所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面，当点运动到时，此时的最大值，最大值为2.变式20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．【解析】（1）证明：过点作，交于点，连接，因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又由平面，平面，所以平面.（2）证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，因为平面，平面，所以平面；又由（1）知平面，且，平面，所以平面平面，即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．题型十二：平面与平面平行的性质【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面．例34．（2023春·全国·高一专题练习）如图，平面，平面，，，，.求证：.【解析】，平面，平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，.例35．（2023春·全国·高一专题练习）在三棱柱中，(1)若分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【解析】（1）∵分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面.（2）连接交于，连接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，同理可得，所以，即为线段的中点，所以为线段的中点，即.例36．（2023春·全国·高一专题练习）在长方体中，，P为的中点．(1)已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，所以分别是棱的中点.（2）在长方体中，，P为的中点，则，，，设点到平面的距离为，由得：，即，解得，所以点到平面的距离是.变式21．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；(2)试确定点F的位置.【解析】（1）由于平面平面，平面平面,平面，所以.同理可证得，所以四边形为平行四边形.（2）由（1）知四边形为平行四边形，所以，由于，所以，所以，而是的中点，所以是中点.题型十三：由面面平行证线面平行例37．（2023·全国·高一专题练习）平行四边形和平行四边形不在同一平面内，、分别为对角线，上的点，且．求证：平面．【解析】在上取点，使得，则，∵平面，平面，∴平面，连接，∵，即，则，∴，又∵，则，且平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面，由平面，可得平面.例38．（2023春·全国·高一专题练习）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.【解析】（1）取的中点，连接，如图，因为分别为的中点，有，而平面平面，则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有，即有，而，于是得，平面平面，因此平面，因，平面，则平面平面，又平面，所以平面.（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图，因为平面，平面，平面平面，则，即四点共面，由（1）及已知，，得，即，又，则，则有，即，点为线段上靠近点的三等分点，所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点.例39．（2023春·全国·高一专题练习）如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面.【解析】证明：在四棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，在图①中，，且，为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为、分别为、的中点，所以，，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，因此，平面.变式22．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面【解析】证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.变式23．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面【解析】取的中点，连接，，则，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；题型十四：空间平行的转化例40．（2023·全国·高一专题练习）如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.【答案】【解析】如图所示，连接、，在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.故答案为：.例41．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．【解析】（1）证明：如图，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，分别为，的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）证明：平面平面，平面平面，平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，则，得，为的中点，为的中点．例42．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．(1)求证：；(2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以.（2）直线与直线相交，理由如下：连接，因为分别是棱的中点，所以，同理可证：，因为，所以，所以四点共面，因为，所以，所以与不平行，即与相交.变式24．（2023·高一课时练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【解析】连接交于点，连接，如下图所示：由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，，则为的中点，则，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，，因此，.变式25．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）如图，作中点，并连接,分别为的中点,∥,平面，平面,∥平面,又在直三棱柱中，∥,平面，平面∥平面,且,平面，平面，故平面∥平面，而平面，故∥平面.（2）则底面为等边三角形，且为的中点，,在直三棱柱中，,，且∥平面,平面,故,又,,，则中边上高，故，故，∴点到平面的距离为.题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项）直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．例43．（2023·高一课时练习）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．(1)求证：EF∥平面BDC1；(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：取AB的中点M，∵AF=AB，∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，∴A1D∥BM，A1D=BM，∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（2）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，∵∴，∴，∴AG=AC>AC．所以符合要求的点G不存在．例44．（2023·全国·高一专题练习）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【解析】（1）取的中点，连接，∵是四棱柱，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．例45．（2023春·全国·高一专题练习）如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心O．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．(1)求证：平面SOA；(2)设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离．【解析】（1）由题意可知：桥面，桥面，所以，平面，平面，所以∥平面.（2）作出其中一个主梁的轴截面，连接，由题意可知：，因为桥面小圆与大圆的半径之比为，也即，所以，在中，，所以点C到桥面的距离为米，又因为AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°，所以地面到桥面的距离为，故点C到地面的距离为米.变式26．（2023春·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.(1)试确定点位置，使得平面；(2)求点到平面距离的最大值.【解析】（1）当在中点处时，平面.证明如下：取中点，连接，.因为是中点，所有且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）设点到平面距离为.在中，，，在中，.又平面，，∴点到平面的的距离为..即，∴.取中点E，连接PE.当点P为中点时，PE为异面直线与的公垂线段.∴.∴.所以，点到平面的距离的最大值为.【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在棱长为的正方体中，取中点G，连接，如图，因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形，有，则四边形为平行四边形，有，又为的中点，则，四边形为平行四边形，则有，因此直线到直线的距离等于点F到直线的距离，因为，则四边形为平行四边形，有，在中，，边上的高，由三角形面积得：，，所以直线到直线的距离为.故选：D2．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A选项中，由正方体的性质可知，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；B选项中，因为，故平面CNQ即为平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；C选项中，因为，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交于点D，则点D是在上靠近点的四等分点，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，平面，则平面平面CNQ，而平面与平面，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．故选：B.3．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（

）①；②平面平面；③；④平面.A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】因为，所以四边形为平行四边形，故，故①正确；易证，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，故②正确；由正方体易知，与异面，故③错误；因为，平面，平面，所以平面，故④正确.故选：A4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在正方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方体的棱长为，∴，，，∴.故选：A.5．（2023春·全国·高一专题练习）已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，，则【答案】D【解析】若，，则或，故A选项错误；若，，，则或与相交，故B选项错误．若，，则或，故C选项错误；若，，，，则，正确，证明如下：，，，，又，且，，则，故D选项正确；故选：D．6．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】因为分别是边的中点，所以，所以；同理可得，所以四边形是平行四边形；又因为，所以，即四边形是矩形.故选：B.7．（2023·高一课时练习）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解析】，四点共面；平面平面，平面平面，平面平面，，四边形为平行四边形.故选：A.8．（2023·山东枣庄·统考二模）如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示因为是的中点，是的中点，所以,因为平面,平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,线段扫过的图形是,由,得,,,,所以,即为直角，所以线段长度的取值范围是：.故选：A.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（

）A．垂直于同一个平面的两平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等C．一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行D．一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行【答案】BC【解析】对A，垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；对B，两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等（性质推论），B对；对C，一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行（判定定理），C对；对D，一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.故选：BC.10．（2023·全国·高三专题练习）正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（

）A．B．平面平面C．面D．与是相交直线【答案】BC【解析】连接，如下图所示，A选项，由于，所以是异面直线与所成的角或其补角，设正方体的边长为，则，所以，所以，所以，A选项错误.B选项，根据正方体的性质可知:，所以四点共面，所以平面平面，B选项正确.C选项，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以由于平面，平面，所以面，C选项正确.D选项，由于与平面相交，平面其不过与平面的交点，所以与是异面直线，D选项错误.故选：BC11．（2023·高一单元测试）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（

）A． B．与所成的角为60°C．与是异面直线 D．平面【答案】A