第4章幂函数指数函数与对数函数

第4章幂函数、指数函数与对数函数【单元提升卷】（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．若点在一个幂函数图像上，则这个幂函数的表达式是______．【答案】【分析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.【详解】解：设幂函数，因为图像经过点，所以，所以，所以.故答案为：2．函数的定义域是___________.【答案】【分析】根据题意解不等式，即可得出函数的定义域.【详解】由题意得，即，解得或.因此，函数的定义域是，故答案为.【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，在解题时，要注意真数大于零、底数大于零且不等于，根据这些原则列不等式（组）求出自变量的取值范围，考查运算求解能力，属于基础题.3．若指数函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】若指数函数在上是增函数，则，解得故实数的取值范围是4．若函数的图像关于原点成中心对称，则实数a的值为______．【答案】##【分析】由已知得，可求得a的值，再代入验证即可.【详解】解：令，因为函数的图像关于原点成中心对称，所以，即，解得，当时，，，满足图像关于原点成中心对称，则实数a的值为，故答案为：.5．已知，则__________.【答案】【分析】设，由可得出，解得出的值，可得出的值，由此可得出的值.【详解】设，由，得，即，，解得，即，解得，因此，.故答案为.【点睛】本题考查指数方程与对数的运算，解题的关键就是通过换元法，将指数方程转化为一元二次方程来求解，考查运算求解能力，属于中等题.6．若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．【答案】【分析】根据对数函数的单调性及定义域建立不等式组求解即可.【详解】，，解得或，故答案为：7．若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可转化为对数真数能取遍所有的正实数，结合二次函数的性质可知二次函数图象与x轴有交点即可求解.【详解】因为函数的值域是R，所以，所以，解得或，故答案为：8．若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______．【答案】【分析】作的图像，数形结合即可求解.【详解】，作出其图像，数形结合可知，a∈.故答案为：.9．不论为何值，函数的图像恒过一定点，这个定点的坐标是_____.【答案】【分析】由已知中，不论为何值时，函数的图象恒过一定点，我们可将函数的解析式变形为的形式，则根据，，构造一个关于，的方程，解方程即可求出定点坐标．【详解】解：函数的解析式可化为的若不论为何值时，函数的图象恒过一定点，即不论为何值时，恒成立则，解得，，即恒过的定点坐标是故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是函数图象过定点，处理的方法是将函数的解析式化成两部分：一部分含参数，一部分不含参数，让两部分的系数均为0，构造方程组，属于基础题．10．若函数在上严格单调递减，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】每段函数必须递减，其次在处，，即可求解.【详解】解：函数在严格单调递减，故，解得，故答案为：.11．定义实数运算且则实数的取值范围是_______.【答案】【分析】由可得,再求解不等式即可.【详解】由可知满足即所以或即故答案为【点睛】本题考查新定义函数问题,明确定义运算代入再求解绝对值不等式即可.属于中等题型.12．已知函数.若对于恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】【分析】当，时，，即，即，参变分离即可．【详解】当，时，，即，即．，．，，，．故的取值范围是，．故答案为：二、单选题13．如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（

）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】根据题意，作出，进而数形结合即可判断.【详解】解：作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，所以故选：B14．下列函数中，与幂函数有相同定义域的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】由题知幂函数，定义域为，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：幂函数，定义域为，对于A选项，定义域为，故正确；对于B选项，定义域为，故错误；对于C选项，定义域为，故错误；对于D选项，定义域为，故错误；故选：A15．已知且．给出下列不等式：①；②；③；④．其中，恒成立的不等式的个数为（

）A．4； B．3； C．2； D．1．【答案】B【分析】由指数函数的性质可判断①④，由幂函数的性质可判断③，取特值可判断②【详解】由于指数函数在实数集R上为严格增函数，因此当且时，，①成立；由于，时，，因此②不成立；由于幂函数在实数集R上为严格增函数，因此当且时，，③成立；由于指数函数在实数集R上为严格减函数，因此当且时，，④成立．综上所述，有3个不等式恒成立，故选：B．16．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可【详解】因为，所以，故或．若，则（舍去）；若，则，又，所以，因此（等号当且仅当，即时成立），即的取值范围是．故选：D．三、解答题17．已知幂函数.(1)求证：是区间上的严格减函数；(2)利用（1）的结论，判断与的大小关系.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据幂函数的性质，用作商即可判断出单调性；（2）利用幂函数的单调性即可比较出大小.（1）对任意的，有.因为，所以，从而由幂的基本不等式，得，即，故.因此得证在区间上是严格减函数.（2）由，得.根据（1）中的结论，可知函数在区间上是严格减函数.又因为，所以，即.18．已知函数.(1)当，求函数的值域；(2)当时，是否存在实数a，使的图象都在函数的图象的下方？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）对x分类讨论，利用基本不等式法求最值，即可得到值域；（2）假设存在a符合题意，利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围.(1)当，函数的定义域为R.若，则y=0；若，函数，所以；若，则，函数，所以，即；综上所述：，即函数的值域为(2)假设存在实数a符合题意，即对任意实数，都有恒成立，即对任意实数，因为在时，，所以，即存在实数满足题意.19．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，已知第一个月时污染度为60，整治开始后前四个月（包括第一个月）的污染度如下表：月数1234……污染度6031130……污染度为0后，该工厂即停止整治，随后污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治开始后第x个月工厂的污染情况：，，，其中x表示月数，函数值分别表示污染度.(1)问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治开始后有多少个月的污染度不超过60？【答案】(1)，理由见解析(2)16个月【分析】（1）分别计算，，和，，，由此得更接近实际值；（2）先判断的单调性，令，解方程即可得到答案.(1)因为，，；，，；由此可得：更接近实际值，所以用模拟比较合理.(2).所以当时，单调递增，又，故整治后又16个月的污染度不超过60.20．已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．（3）．【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由，得，解得．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a设1﹣t＝r，则0≤r，，当r＝0时，0，当0＜r时，，∵y＝r在（0，）上递减，∴r，∴，∴实数a的取值范围是a．【一题多解】（3）还可采用：当时，，，所以在上单调递减．则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；(2)设是定义在上的“类函数”，求实数的最小值；(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)是，理由见解析(2)的最小值为(3)【分析】（1）利用题中定义判断可得出结论；（2）由题中定义结合参变量分离法得出，利用函数单调性可求得函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围，即可得解；（3）分析可知存在使得，则对任意的，恒成立，以及存在使得，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.(1)解：函数的定义域为，当时，，，，当时，，，，所以，函数为奇函数，故函数是“类函数”.(2)解