专题03相等关系与不等关系计数原理

专题3相等关系与不等关系，计数原理1.高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．3.前几年，二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.由于文科不学习计数原理这部分内容，2020年可能通过简单古典概率问题考查，如果单独通过客观题考查计数原理、二项式定理的应用等，难度也会降低些.有可能在主观题中考查这部分能内容的“工具性”.第一部分相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知正数，满足，则的最小值是（）.A．18 B．16 C．8 D．10【答案】A【解析】解：正数，满足，．，当且仅当，即，时取等号，的最小值为18．故选：．2．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．3．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．【答案】A【解析】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A4．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．5．（2020届山东省高考模拟）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B6．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C7．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A．甲 B．乙 C．丙 D．无法预测【答案】A【解析】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。因此，第三名是甲，故选：A。8．（2020·山东高三模拟）对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意知，与为函数的“线性对称点”，所以，故（当且仅当时取等号）.又与为函数的“线性对称点，所以，所以，从而的最大值为.故选:D.9．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知实数满足，则的最大值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，的最小值是当，即时，的值最大的最大值是：的最大值为.故选：C10．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）设，，是与的等差中项，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是与的等差中项，∴，即，∴．所以当且仅当即时取等号，∴的最小值为9．11．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为()A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D．12．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.13．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知实数满足，则的最大值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，的最小值是当，即时，的值最大的最大值是：的最大值为.故选：C二、填空题14．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.15．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.【答案】乙【解析】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。故答案为：乙16．（2020届山东省高考模拟）已知函数，若，则不等式的解集为__________，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得：，当a=1时，，可得：（1）当时，，可得；（2）当时，，可得，综合可得的解集为；由，只有一个零点时，，可得，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，同理，当时，此时，只有一个零点，当时，有两个零点，故可得的取值范围是第二部分计数原理一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）在二项式的展开式中，含的项的系数是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】对于，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选．2．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）二项式的展开式中项的系数为，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．3．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为，故选D4．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．210 B．180 C．160 D．175【答案】B【解析】解：展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，n＝10；∴展开式的通项公式为令，得，常数项是，故选B．二、多选题5．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在常数项D．展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选:BCD三、填空题6．（2020届山东省济宁市高三3月月考）的展开式中，的系数为__________.【答案】5【解析】要求的系数，则展开式中项与相乘，项与1相乘，所以展开式中项为与相乘得到，展开式中项为，与1相乘得到，所以的系数为7．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.8．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．【答案】7【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，，令，可得常数项为7.9．（2020·山东高三模拟）的展开式中常数项是___________.【答案】160【解析】常数项为.9．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.【答案】【解析】的展开式各项系数和为，得，所以，的展开式通项为，令，得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.10．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+aa，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，故答案为12．11．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在1x【答案】9【解析】二项式x+15的展开式的通项为∴1x-1x故答案为9．12．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数______，展开式中含的项的系数是______.【答案】223；【解析】已知的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到展开式中含的项的系数是故答案为：(1).2；(2).23.13．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为，从“中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有______种.【答案】600【解析】根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有（种）选法，再将“”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有（种）情况，则不同的排列有（种）.故答案为：60014．