类型二三角恒等变换与解三角形（原卷版）

类型二三角恒等变换与解三角形【要点提炼】考点一三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化．【热点突破】【典例】1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A1 ，  a，B2 ，  b，且cosA．15B．55C．2(2)[2021江西红色七校第一次联考]若sIn(α+π6)=13,则sIn(2α+5π6A.79 B.89 C.13【拓展训练】1(1)已知，则=（）A．B．C．D．(2)[2021河南省名校第一次联考]已知sIn(απ3)=3cos(απ6),则tan2α=(A.43 B.32 C.43 D.（3）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.（4）已知θ是第四象限角，且＝eq\f(3,5)，则＝________.【要点提炼】考点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.【热点突破】考向1求解三角形中的角、边【典例】2已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−3（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值考向2求解三角形中的最值与范围问题【典例】3(2021·新高考测评联盟联考)在：①a＝eq\r(3)csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝eq\r(3)，而且________．(1)求角C；(2)求△ABC周长的最大值．【拓展训练】2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为()A．4πB．2πC．πD.eq\f(π,2)(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则eq\f(a,b)的取值范围是()A．(0,3)B．(1,3)C．(0,1]D．(1,2](3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝eq\f(12,5)，a＝b＝eq\r(13)，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________.专题训练一、单项选择题1．下列说法错误的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1D.存在实数α,使tan2α=2tanα2．(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(2),2)3．[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则mA.4 B.5+1 C.2 D.514．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝eq\r(7)，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，则△ABC的周长为()A．1＋eq\r(7) B．2＋eq\r(7)C．4＋eq\r(7) D．5＋eq\r(7)5．[2021云南省部分学校统一检测]已知α为锐角,cosα=35,则tan(π4+A.13 B.12 C.26．已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2βA.α+β=π2 B.αβ=π4 C.α+β=π4 D.α+2二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2eq\r(3)，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是()A．cosC＝eq\f(\r(3),3) B．sinB＝eq\f(\r(2),3)C．a＝3 D．S△ABC＝eq\r(2)8．已知0<θ<eq\f(π,4)，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))恒相等的有()A.eq\f(n,1＋m)B.eq\f(m,1＋n)C.eq\f(1－n,m)D.eq\f(1－m,n)三、填空题9．(2020·保定模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,2)，则eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________.10．已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,则tanθ11．[向量与三角函数综合]已知向量a=(sIn2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,则α=12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则eq\f(S,a2)的最大值为________．四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．14．(2020·重庆