251直线与圆的位置关系（精讲）

2.5.1直线与圆的位置关系（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：直线与圆的位置关系重点题型二：圆的切线问题重点题型三：直线与圆相交的弦长问题重点题型四：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系直线与圆的位置关系的图象直线与圆的位置关系相交相切相离2、判断直线与圆的位置关系的两种方法2.1几何法（优先推荐）图象位置关系相交相切相离判定方法；。圆心到直线的距离：。圆与直线相交。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相切。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相离。2.2代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离知识点二：直线与圆相交记直线被圆截得的弦长为的常用方法1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：知识点三：直线与圆相切1、圆的切线条数①过圆外一点，可以作圆的两条切线②过圆上一点，可以作圆的一条切线③过圆内一点，不能作圆的切线2、过一点的圆的切线方程（）①点在圆上步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）②点在圆外记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）3、切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．()（2）若直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．()（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．()【答案】

×

√

√（1）直线与圆有公共点，则直线和圆相交或相切，错误；（2）直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切，正确；（3）圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若直线与圆相切，则.()【答案】错误圆的圆心为，直线为由题意可得圆心到直线的距离，解得，即m可以2，也可以为2，不一定为2，故答案为：错误.3．（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆相切，则m的值为()A．0或2

B．2

C．

D．无解【答案】B由题可知：故选：B4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系是()A．相交

B．相切

C．相离

D．相切或相交【答案】A圆的圆心为，半径为4圆心到直线的距离为所以直线与圆的位置关系是相交故选：A第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：直线与圆的位置关系角度1：判定直线与圆的位置关系典型例题例题1．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（文））直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】A因为圆的圆心坐标为，半径为；所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相离.故选：A.例题2．（2022·全国·高二期末）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【答案】B圆的圆心坐标为半径为4，圆心到直线的距离，所以相交.故选：B.例题3．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】C直线即，过定点，因为圆的方程为，则，所以点在圆内，则直线与圆相交.故选：C例题4．（2022·广东韶关实验中学高二阶段练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B直线恒过定点，而，故点在圆的内部，故直线与圆的位置关系为相交，故选：B.角度2：由直线与圆的位置关系求参数例题1．（2022·四川乐山·高一期末）直线与圆相切，则（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D圆的圆心坐标为，半径为又直线与圆相切，则，解之得或，故选：D．例题2．（2022·北京四中高三开学考试）若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C圆心为，半径为，由题意得：，解得：.故选：C例题3．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.故选：C例题4．（2022·全国·高三专题练习）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________．【答案】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：与圆：相交于两点，若，则的值为________．【答案】由题意，，利用等腰直角三角形的性质，知，又因为，根据垂径定理，到直线的距离，解得.故答案为：.角度3：由直线与圆的位置关系求距离最值例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数的值为（

）．A．11 B． C．1 D．4【答案】C圆的标准方程是，圆心为，半径为，圆心到直线的距离．因为圆上仅有一点到直线的距离为1，所以圆的半径，解得．故选：C．例题2．（2022·江苏·高二）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（

）A．36 B．18 C． D．【答案】D解：因为圆，即，所以圆心坐标为，半径，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，故选：D.例题3．（2022·上海·高三开学考试）已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值是___________.【答案】##圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故答案为：例题4．（2022·天津三中三模）设是圆上的点，则到直线的最长距离是_____．【答案】8依题意可知，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故圆上点到直线的最大距离为.同类题型归类练1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D由题意，圆心到直线的距离，即，解得故选：D2．（2022·上海徐汇·高二期末）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（

）A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点【答案】C直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.故选：C3．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B解：因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：B.4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】B，

，∴直线恒过点P（—4，1），对于A，圆心为（2，1），半径为5，P到圆心的距离为：

，即P点不在该圆内；对于B，圆心为（1，2），半径为5，P到圆心的距离为，故点P在该圆内；对于C，圆心为（3，4），半径为5，P点到圆心的距离为，故点P不在该圆内；对于D，圆心为（1，3），半径为5，点P到圆心的距离为，点P该在圆上，可能相切也可能相交；故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知，是圆上的两个动点，且，则，两点到直线的距离之和的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D解：因为，所以为直角三角形，为斜边，设线段的中点为，则，从而在圆上，设，两点到直线的距离之和为，到直线的距离为，由题意得，圆的圆心到直线的距离为，所以，即，所以．故选：D．6．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）已知圆经过，，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)∵圆心C在直线，∴可设圆心坐标为，∵圆C经过，，∴即，解得∴圆心坐标为，半径故圆C的标准方程为；(2)∵圆心C到直线l的距离且直线l圆C无公共点，∴即，解得，故实数k的取值范围为；综上，圆C的标准方程为，.7．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，圆.当m为何值时，直线l与圆O：(1)相离？(2)相切？(3)相交？【答案】(1)(2)或0(3)(1)解：因为，圆，则，消去得整理得，因为，则；若直线与圆相离，则，解得，即；(2)解：若直线与圆相离切，则，解得或；(3)解：若直线与圆相交，则，解得或，即；重点题型二：圆的切线问题角度1：过圆上一点的圆的切线方程典型例题例题1．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．或【答案】C由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故选：C例题2．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））过点作圆的切线，则切线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C解：因为，所以点在圆，又，所以切线的斜率为，所以切线方程为，整理得；故选：C例题3．（2022·全国·高三专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】C解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，则，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．例题4．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：.又因为光线与圆相切，所以，,整理：，解得：，或,故选D．角度2：过圆外一点的圆的切线方程典型例题例题1．（2022·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C例题2．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（

）A．B．或C．D．或【答案】D当斜率存在时，设切线方程为，则，解得，所以切线方程为，即.当斜率不存在时，切线方程为.综上，过点的圆的切线方程为或，故选：D例题3．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）过点作圆的切线，则切线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C由圆的方程可得圆心坐标为，半径为1，当过点的切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为，由点到直线的距离公式可得，解得，所以切线方程为，当过点的切线斜率不存在时，切线方程为，所以过点的圆的切线方程为或，故选：C．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C∵圆的方程为，过点作圆的切线方程，设切线方程为，即.则，解得：.则的取值范围为.故选：C.角度3：切线长典型例题例题1．（2022·江苏·高二）已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（

）A． B． C． D．【答案】C由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以有，因为过点向圆作切线，切点为，所以所以，故选：C例题2．（2022·重庆·高二期末）直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，，所以有，所以，故选：B例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A圆：中，圆心，半径设，则，即则（当且仅当时等号成立）故选：A角度4：已知切线求参数典型例题例题1．（2022·江苏连云港·模拟预测）直线与圆相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C因为直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径得：，即，解得：.故选：C例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则的值为（

）A．3或 B．1或C．0或4 D．或0【答案】A圆的圆心为，半径为，因直线与圆相切，则点到直线的距离为，整理得，解得或，所以m的值为3或.故选：A例题3．（2022·重庆八中高二期末）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A的坐标为，，切点为B则，.故选:C例题4．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若直线与圆相切，则A． B． C． D．或【答案】D由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D．例题5．（2022·全国·高三专题练习（理））“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C解：直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径，即，∴，∴，∴是直线与圆相切的充要条件.故选：C.同类题型归类练1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A直线经过点，且与圆相切，则,故直线的方程为，即.故选：A.2．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B.3．（2022·辽宁抚顺·一模）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A直线上任取一点作圆的切线，设切点为圆，即圆心，切线长为所以切线长的最小值为故选：A4．（2022·湖南湘潭·高二期末）一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切于点Q，则光线从P点到Q点所经过的路程的长度为（

）A． B． C． D．3【答案】B∵圆，∴圆心，半径为1，设点关于x轴的对称点为，则，∴，所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为.故选：B.5．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．【答案】圆的圆心，半径，点到直线的距离，于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“，所以线段的最小长度为.故答案为：6．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．【答案】或当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或故答案为：或7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是______________．【答案】由题意，A(－2,0)，C(2,0)，设P(x,y)，由|PA|＝|PT|，所以|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，所以点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以，解得．故答案为：8．（2022·天津·高三期末）已知直线和圆相切，则实数的值为____________.【答案】##由，得，则圆心为，半径为1，因为直线和圆相切，所以，得，解得，故答案为：重点题型三：直线与圆相交的弦长问题角度1：圆的弦长与中点弦例题1．（2022·重庆八中高三阶段练习）直线截圆截得的弦长为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D解：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））直线与圆交于，两点，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B解：因为，所以圆心到直线的距离，故.故选：B例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期末（理））已知直角的两直角边长为，，斜边长为，则直线被圆所截得的弦长为（

）A． B．4 C． D．2【答案】B由题意得：，其中圆心为，半径为，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，所以截得的弦长为4.故选：B例题4．（2022·广东·三模）已知直线与圆：相交于、两点，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C充分性：若，则，此时，，；必要性：若，因为，则圆心到直线的距离，即，解得.故选：C角度2：已知圆的弦长求方程或参数典型例题例题1．（2022·江西南昌·三模（文））若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B圆的圆心为，半径为2，则在中，由余弦定理可得，即，所以圆心到直线的距离为，则，即.故选：B.例题2．（2022·北京·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为（

）A． B．C． D．不存在【答案】B由可知：圆心为，半径为，所以有，故选：B例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于，两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；故选：B例题4．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））若直线与圆交于不同的两点，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A设圆心O到直线l的距离为d，∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即由，即，则又由垂径定理可知，即解得则，解得．故选：A．同类题型归类练1．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则______.【答案】已知圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以.故答案为：2．（2022·河南焦作·高二期末（文））若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．【答案】##由题意得，直线与轴的交点为，则点在圆上，即，解得，则，圆心到的距离为，则l被C截得的弦长为.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________.【答案】解：由题知，圆心为，到直线的距离为，因为圆心为，且截直线所得弦长为，所以，圆的半径为，所以，所求圆的方程为.故答案为：4．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆交于A、B两点，且，则实数_______．【答案】或5##5或，则圆心，半径，设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，则，即，∴或5．故答案为：或5．5．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在平面直角坐标系中，圆交轴于，交轴于，四边形的面积为18，则___________.【答案】由题意，故，而圆心在的垂直平分线上，所以由垂径定理知半径,解得所以或，故，故答案为：6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________.【答案】或可化为故圆心到直线距离若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意若直线斜率存在，设其方程为，，解得，此时直线方程为故答案为：或重点题型四：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题典型例题例题1．（2022·宁夏·银川二中一模（理））若直线与圆交于、两点，则弦长的最小值为___________.【答案】直线的方程可化为，由，得，所以，直线过定点，因为，即点在圆内，圆的圆心为原点，半径为，当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时取最小值，故.故答案为：.例题2．（2022·全国·高三专题练习）直线：被圆：截得的最短弦长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C直线：即为，当时，，故直线线过定点，设该点为P,又，故点在圆内，当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短，而即，半径，圆心为,故,故弦长为，故答案为：2.例题3．（2022·全国·高三专题练习）直线l：与圆交于，两点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C解：由题知：圆的圆心为，半径为，因为直线l与圆相交形成的弦长为，所以圆心到直线l的距离为，所以，解得.故选：C同类题型归类练1．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（

）A．