创新型问题解题策略

【考情分析】新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和探究，提出力立意，推出了一批新颖而又别致，具有创新意识和创新思维的新题。从最近几探索性问题和创新题型比重逐年攀升，对探索性问题和创新型问题的预测研究应考的重点。预测12年高考探索性问题重点出在函数、客观题设置较为灵活。今年高考多会结合合情推理知识点出探索性问题（特别是解答题），应加强对这些内容的研究；创新题型多出现与经济、生活密切相关（像概的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。关注以下两种类型：类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题，要求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据、特殊的情况的能力，从不变中找规律，从不变中找变化。创新题是指以学生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决问题的方法，并应用于【知识交汇】常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题；（1）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；（2）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；（3）全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标；深刻理解题意;开阔思路,发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题（1）直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，（2）观察——猜测——证明（3）特殊—一般—特殊其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题；（5）赋值推断几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论，由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决；根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求，结合中学数学教材的内容及我国的经济发展的要求，在实际问题中侧重如下几种模型：表的运用；数据的利用、分析与预测（线形回归、曲线拟合）等问题；（3）优化模型科学规划，劳动力利用，工期效益，合理施肥，最值问题，资调用等问题；（4）概率统计模型彩票与模型，市场统计，评估预测，风险决策，抽样估计等问题；（5）几何应用模型工厂选址，展开、折叠，视图，容器设计用等；（6）边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。【思想方法】例12011年山东理11）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A，A4在同一条直线上,因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且(A)（0,6+2）(C)(6-2,6+2） (D)（0,22）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形2a2a2-1 <2+3，即再利用射影的概念，得到正确的结论。f(x)有最大值，且f(1)>.（1）求函数f(x)的解析式2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且分析：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问解析1）Ⅰf(x)是奇函数，Ⅰf(–x)=－f(x)，即，Ⅰ-bx+c=－bx–c，Ⅰc=0，Ⅰ.由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0，Ⅰf(x)的最大值在x＞0时取得.把Ⅰ代入Ⅰ得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又bⅠN,Ⅰb=1,a=1,Ⅰf解之，得x0=1±点坐标为(1+,)或(1-,-)，点评：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证。bn**（1）求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项；2kS4n4n22。列。（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.nSn+1C，解析1）3C1q2（2）归纳概括的结论为：则：1CS2C3CS4CnSn+1C【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数，所以n+(n+1)+L+[n+(2n-1)-1]=(2n-1)2，即n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)2【答案】n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)2例7．设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cⅠR,a≠0)满足条件：Ⅰ当xⅠR时，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；Ⅰ当xⅠ(0,2)时，f(x)≤()2；Ⅰf(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m>1)，使得存在tⅠR，只要xⅠ[1令x=m求出m的取值范围，进而根解法一：Ⅰf(x-4)=f(2-x)，Ⅰ函数的图象关于x=-1对称Ⅰ-=-1即b=2a由Ⅰ得f(1)≥1，由Ⅰ得f(1)≤1。Ⅰf(1)=1，即a+b+c=1，假设存在tⅠR，只要xⅠ[1,m]，就有f(x+t)≤x，→1-t-≤m≤1-t+Ⅰm≤1-tⅠm的最大值为9。解法二：Ⅰf(x-4)=f(2-x)，Ⅰ函数的图象关于x=－1对称，Ⅰ-=-1，b=2a。由Ⅰ得f(1)≥1，由Ⅰ得f(1)≤1。由2≤x在xⅠ上恒成立Ⅰ4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当xⅠ[1,m]时，恒成立；2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当tⅠ[-4,0]时，恒有解；即当4时，任取xⅠ恒有fⅠmmin=9。例82011年湖北理，15）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相连的着色方案共有种，至少有两个黑色正解析：当n=6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的534个空内，有C=10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有34=4种方案，由图可知不种方案，本问所求事件为第一问事件的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的着色方案点评：本题主要考查排列组合、计数原理等内容例92010陕西文，11）观察下列等式：13＋231＋2）2，13＋23＋331＋2＋3）23＋23＋33＋431＋2＋3＋4）2，ⅆ,根据上述规律，第四个等 f(-5)+f(-4)+f(-3)+L+f(0)+L+f(5)+f(6)的值是。分析：利用f可求f(-5)+f(-4)+f(-3)+L+f(0)+L+f(5)+f(6) 例112011年江西文，10）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”三段等弧组成.下放置，应大致为()答案：A根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与例12.（2004年高考江苏卷）二次函数y=ax2+bx+c(xⅠR)的部分对应值如下表：x01234y6006则不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-2)I(3,+∞)。C={(x,y)|y＝kx+b}，问是否存在自然数k,b使（AⅠB）∩C=φ?分析：此题等价于是否存在自然数k，b，使得直线y＝kx+b与抛物线y2―x―1=0和点评：与集合运算有关的一类探索性问题，它的题设往往都具有鲜明的几何意义。辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研(Ⅰ)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式;(Ⅰ)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）f(x)=x.v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）解：(□)由题意：当0≤x≤20时,v(x)=60；当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b再由已知得解得(□)依题意并由可得f当0≤x≤20时,f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20≤x≤200时，f当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立。综上，当x=100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3333。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。们制定一系列相关政策的基础.由人口统计年鉴，可查得我国料如下：年年(2)用回归直线作为其拟合模型,为便于计算,可将数据适当简化,再据之和.7125a＋225b=22186(3)预测：根据上述模型，当x=50(即2005例16优化问题2007年四川理9文11）某公司有60万元资利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法。也划在高考中以应用题型的形式出现。例17概率模型2011年重庆文，17）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该（I）没有人申请A片区房源的概率；（II）每个片区的房源都有人申请的概率。解：这是等可能性事件的概率计算问题。（II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有CCC(或CC)种.P(B)===(或P(B)==).【思维总结】随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展和新课程