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文档简介
第一章勾股定理培优拔高练勾股定理的应用1.
[2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形
ABCD
，正方形
EFGH
，正方形
MNKT
的面积分别为
S1，
S2，
S3，若EF
＝6，则
S1＋
S2＋
S3的值是(
D
)DA.32B.38C.48D.1082312.
勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀
算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图①
是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其
面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入长方形
KLMJ
内得到的，∠
BAC
＝90°，
AB
＝6，
BC
＝10，点
D
，E
，
F
，
G
，
H
，
I
都在长方形
KLMJ
的边上，则长方形
KLMJ
的面积为(
B
)BA.420B.440C.430D.410231点拨：如图，延长
AB
交
KL
于
P
，延长
AC
交
LM
于
Q
，由题意得，∠
BAC
＝∠
BPF
＝∠
FBC
＝90°，
BC
＝BF
，所以∠
ABC
＋∠
ACB
＝90°＝∠
PBF
＋∠
ABC
.
所以∠
ACB
＝∠
PBF
.
所以△
ABC
≌△
PFB
(AAS).所以
PB
＝
AC
.
同理可得△
ABC
≌△
QCG
.
所以
CQ
＝
AB
.
231所以
AC
＝8，
CQ
＝
AB
＝
AD
＝6.所以
PB
＝
AC
＝
AI
＝8.所以
IP
＝8＋6＋8＝22，
DQ
＝6＋8＋6＝20.所以长方形
KLMJ
的面积＝22×20＝440.因为在△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝6，
BC
＝10，2313.
【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形
ABC
中，分别以
AB
，
AC
为边向外作等腰直角三角形
ABE
和等腰直角三
角形
ACD
，使
AE
＝
AB
，
AD
＝
AC
，∠
BAE
＝∠
CAD
＝90°，连接
BD
，
CE
，请判断
BD
与
CE
的数量关系，并说明理由；231解：
BD
＝
CE
.
理由如下：因为∠
CAD
＝∠
BAE
＝90°，所以∠
BAD
＝∠
EAC
＝90°＋∠
BAC
.
因为
AB
＝
AE
，
AD
＝
AC
，所以△
ABD
≌△
AEC
(SAS).所以
BD
＝
CE
.
231【深入探究】(2)如图②，在四边形
ABCD
中，
AB
＝5，
BC
＝2，∠
ABC
＝∠
ACD
＝∠
ADC
＝45°，求
BD2的
值；甲同学受到(1)的启发构造了如图所示的一个和△
ABD
全等的三角形，将
BD
进行转化再计算，请你准确叙述辅助线的作法，再计算.231解：在△
ABC
的外部作Rt△
BAE
，使∠
BAE
＝90°，
AE
＝
AB
，连接
BE
，
CE
.
因为∠
ACD
＝∠
ADC
＝45°，所以∠
CAD
＝90°，
AC
＝
AD
.
所以∠
EAC
＝∠
BAD
＝90°＋∠
BAC
.
所以△
EAC
≌△
BAD
(SAS).所以
EC
＝
BD
.
所以
EC2＝
BD2.231易得∠
ABE
＝45°.因为∠
ABC
＝45°，所以∠
CBE
＝45°＋45°＝90°.因为
AE
＝
AB
＝5，∠
BAE
＝90°，所以
BE2
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