高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理

/专题26平面向量的数量积及平面向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积及向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a及b，它们的夹角为θ，则数量θ叫作a及b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝θ，规定零向量及任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度及b在a的方向上的投影θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：＝\r(a·a)＝\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1)).(3)夹角：θ＝\f(a·)＝\f(x1x2＋y1y2,\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))·\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)·≤(当且仅当a∥b时等号成立)⇔1x2＋y1y2|≤\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))·\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2)).3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式θ＝\f(a·)＝\f(x1x2＋y1y2,\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2)))(θ为a及b的夹角)．5．向量在三角函数中的应用及三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形为平行四边形，\o(,\s\6(→))|＝6，\o(,\s\6(→))|＝4，若点M，N满足\o(,\s\6(→))＝3\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))等于()A．20B.15C．9D．6(2)已知正方形的边长为1，点E是边上的动点，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的值为；\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值为．(2)方法一以射线，为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则\o(,\s\6(→))＝(t，－1)，\o(,\s\6(→))＝(0，－1)，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为\o(,\s\6(→))＝(1,0)，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影都是＝1，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·1＝1，当E运动到B点时，\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影最大即为＝1，∴(\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角及已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形中，已知＝8，＝5，\o(,\s\6(→))＝3\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝.(2)已知正方形的边长为2，E为的中点，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝.答案(1)22(2)2高频考点二用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A.－8 B.－6C.6 D.8(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b及c的夹角为钝角，则k的取值范围是.解析(1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.(2)∵2a－3b及c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－\f(9,2).当k＝－\f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，此时2a－3b及c反向，不合题意.综上，k的取值范围为\b\\(\\)(\a\4\\1(－∞，－\f(9,2)))∪\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(9,2)，3)).答案(1)D(2)\b\\(\\)(\a\4\\1(－∞，－\f(9,2)))∪\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(9,2)，3))【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，θ＝\f(a·)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式探究】(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠＝()A.30° B.45°C.60° D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且＋2＝2＋2，则m＝.解析(1)\o(,\s\6(→))|＝1，\o(,\s\6(→))|＝1，∠＝\f(\o(6(→))·\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))|·|\o(,\s\6(→))|)＝\f(\r(3),2).由〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉∈[0°，180°]，得∠＝30°.(2)由＋2＝2＋2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.答案(1)A(2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e1及e2的夹角为α，且α＝\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2及b＝3e1－e2的夹角为β，则β＝.(2)在△中，若A＝120°，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－1，则\o(,\s\6(→))|的最小值是()\r(2) B．2\r(6) D．6答案(1)\f(2\r(2),3)(2)C解析(1)∵＝\r(3e1－2e22)＝\r(9＋4－12×1×1×\f(1,3))＝3，＝\r(3e1－e22)＝\r(9＋1－6×1×1×\f(1,3))＝2\r(2)，∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9\o\(2,1)－9e1·e2＋2\o\(2,2)＝9－9×1×1×\f(1,3)＋2＝8，∴β＝\f(8,3×2\r(2))＝\f(2\r(2),3).(2)∵\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－1，∴\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|·120°＝－1，即\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|＝2，∴\o(,\s\6(→))|2＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|2＝\o(,\s\6(→))2－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))2≥2\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝6，∴\o(,\s\6(→))＝\r(6).高频考点三平面向量及三角函数例3、在平面直角坐标系中，已知向量m＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(，)，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求的值；(2)若m及n的夹角为\f(π,3)，求x的值．解(1)因为m＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(，)，m⊥n.所以m·n＝0，即\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＝0，所以＝，所以＝1.(2)因为＝＝1，所以m·n＝\f(π,3)＝\f(1,2)，即\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＝\f(1,2)，所以\b\\(\\)(\a\4\\1(x－\f(π,4)))＝\f(1,2)，因为0<x<\f(π,2)，所以－\f(π,4)<x－\f(π,4)<\f(π,4)，所以x－\f(π,4)＝\f(π,6)，即x＝\f(5π,12).【感悟提升】平面向量及三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O为坐标原点，向量\o(,\s\6(→))＝(3α，α)，\o(,\s\6(→))＝(2α，5α－4α)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(3π,2)，2π))，且\o(,\s\6(→))⊥\o(,\s\6(→))，则α的值为()A．－\f(4,3) B．－\f(4,5)\f(4,5) \f(3,4)答案A高频考点四向量在平面几何中的应用例4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△的()A．内心 B．外心C．重心 D．垂心答案C解析由原等式，得\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，即\o(,\s\6(→))＝λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，根据平行四边形法则，知\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))是△的中线(D为的中点)所对应向量\o(,\s\6(→))的2倍，所以点P的轨迹必过△的重心．【感悟提升】解决向量及平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量及平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形中，＝1，∠＝60°，E为的中点．若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝1，则＝.(2)平面四边形中，\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0，(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·\o(,\s\6(→))＝0，则四边形是()A．矩形 B．梯形C．正方形 D．菱形答案(1)\f(1,2)(2)D解析(1)在平行四边形中，取的中点F，则\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→))，又∵\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))2－\f(1,2)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→))2＝\o(,\s\6(→))|2＋\f(1,2)\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))60°－\f(1,2)\o(,\s\6(→))|2＝1＋\f(1,2)×\f(1,2)\o(,\s\6(→))|－\f(1,2)\o(,\s\6(→))|2＝1.∴\b\\(\\)(41(f(1,2)－|\o(,\s\6(→))|))\o(,\s\6(→))|＝0，又\o(,\s\6(→))|≠0，∴\o(,\s\6(→))|＝\f(1,2).(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0⇒\o(,\s\6(→))＝－\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))⇒平面四边形是平行四边形，(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0⇒\o(,\s\6(→))⊥\o(,\s\6(→))，所以平行四边形是菱形．高频考点五、向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量\o(,\s\6(→))＝(k,12)，\o(,\s\6(→))＝(4,5)，\o(,\s\6(→))＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为．(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，则\f()＝.答案(1)2x＋y－3＝0(2)±\r(3)解析(1)∵\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝(4－k，－7)，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝(6，k－5)，且\o(,\s\6(→))∥\o(,\s\6(→))，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.(2)∵\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，∴⊥，∴是圆的切线，设的方程为y＝，由\f(|2,\r(1＋k2))＝\r(3)，得k＝±\r(3)，即\f()＝±\r(3).【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5θ)2＋(y－5θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，，切点分别为E，F，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最小值是()A．5 B．6C．10 D．12答案B解析圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x－2－5θ)2＋(y－5θ)2＝1，圆心M(2＋5θ，5θ)，半径为1，∵＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线和圆M交于H，G两点，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))最小值是\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，＝－1＝5－1＝4，＝\r(2－2)＝\r(16－4)＝2\r(3)，∠＝\f()＝\f(1,2)，∴∠＝2∠＝1－22∠＝\f(1,2)，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))∠＝2\r(3)×2\r(3)×\f(1,2)＝6，故选B.高频考点六向量的综合应用例6、(1)已知x，y满足\b\\{\\(\a\4\\1(y≥x，＋y≤2，≥a，))若\o(,\s\6(→))＝(x,1)，\o(,\s\6(→))＝(2，y)，且\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A．1 \f(1,3)\f(1,4) \f(1,8)(2)函数y＝(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，则函数f(x)的最小正周期是．答案(1)D(2)3(2)由图象可知，\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，1))，\b\\(\\)(\a\4\\1(，－1))，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，1))·(，－1)＝\f(1,2)－1＝0，解得＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×\b\\(\\)(\a\4\\1(2－\f(1,2)))＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量及三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，则点集{\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋μ\o(,\s\6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是()A．2\r(2) B．2\r(3)C．4\r(2) D．4\r(3)答案D解析由\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，知〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝\f(π,3).当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△中，取\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))，过点C作∥交于点D，作∥交于点E，显然\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)).由于\f()＝\f()，\f()＝\f(2－2λ,2)，∴\o(,\s\6(→))＝(1－λ)\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋(1－λ)\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋μ\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴λ＋μ＝1时，点P在线段上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以为一边，以，为对角线一半的矩形，其面积为S＝4S△＝4×\f(1,2)×2×2\f(π,3)＝4\r(3).1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为，,则（）（A）（B）（C）34a2（D）32a2【答案】D【解析】因为故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【2015高考四川，理7】设四边形为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【解析】，所以，选C.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】如图，由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.【答案】【解析】因为，，，，当且仅当即时的最小值为.1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝．【答案】\r(5)【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λ|＝\f()＝\f(\r(5),1)＝\r(5).2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝．【答案】±3【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2014·江西卷）已知单位向量e1及e2的夹角为α，且α＝\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2及b＝3e1－e2的夹角为β，则β＝．【答案】\f(2\r(2),3)4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝()A．2\r(2)C．1\f(\r(2),2)【答案】B【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，及2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝\r(2)＝\r(2).5．（2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b满足＋＝\r(10)，－＝\r(6)，则＝()A．1B．2C．3D．5【答案】A【解析】由已知得＋2＝10，－2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.6．（2014·山东卷）在△中，已知\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝A，当A＝\f(π,6)时，△的面积为．【答案】\f(1,6)【解析】因为·＝\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))A＝A，且A＝\f(π,6)，所以\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|＝\f(2,3)，所以△的面积S＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))A＝\f(1,2)×\f(2,3)×\f(π,6)＝\f(1,6).7．（2014·天津卷）已知菱形的边长为2，∠＝120°，点E，F分别在边，上，＝λ，＝μ.若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝1，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－\f(2,3)，则λ＋μ＝()\f(1,2)\f(2,3)\f(5,6)\f(7,12)【答案】C【解析】建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－\r(3))，C(1，0)，D(0，\r(3))．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝λ得(x1，y1＋\r(3))＝λ(1，\r(3))，解得\b\\{(\a\4\\1(x1＝λ，1＝\r(3)（λ－1），))即点E(λ，\r(3)(λ－1))．由\o(,\s\6(→))＝μ\o(,\s\6(→))得(x2，y2－\r(3))＝μ(1，－\r(3))，解得\b\\{(\a\4\\1(x2＝μ，2＝\r(3)（1－μ），))即点F(μ，\r(3)(1－μ))．又∵·＝(λ＋1，\r(3)(λ－1))·(μ＋1，\r(3)(1－μ))＝1，①\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(λ－1,\r(3)(λ－1))·(μ－1,\r(3)(1－μ))＝－\f(2,3).②①－②得λ＋μ＝\f(5,6).8．(2013年高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量\o(,\s\10(→))在\o(,\s\10(→))方向上的投影为()\f(3\r(2),2) \f(3\r(15),2)C．－\f(3\r(2),2) D．－\f(3\r(15),2)9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足－a－＝1，则的取值范围是()A．[\r(2)－1，\r(2)＋1] \b\\[\\](\a\4\\1(\r(2)－1，\r(2)＋2))C．[1，\r(2)＋1] D．[1，\r(2)＋2]解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入－a－＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又＝\r(x2＋y2)，故由几何性质得\r(12＋12)－1≤≤\r(12＋12)＋1，即\r(2)－1≤≤\r(2)＋1.答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a＝(\r(3)x，x)，b＝(x，x)，x∈\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2))).(1)若＝，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解析：(1)由2＝(\r(3)x)2＋(x)2＝42x，2＝(x)2＋(x)2＝1，及＝，得42x＝1.又x∈\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2)))，从而x＝\f(1,2)，所以x＝\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝\r(3)x·x＋2x＝\f(\r(3),2)2x－\f(1,2)2x＋\f(1,2)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6)))＋\f(1,2)，当x＝\f(π,3)∈[0，\f(π,2)]时，\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值为\f(3,2).11．(2013年高考陕西卷)已知向量a＝\b\\(\\)(\a\4\\1(x，－\f(1,2)))，b＝(\r(3)x，2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解析：f(x)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(x，－\f(1,2)))·(\r(3)x，2x)＝\r(3)x－\f(1,2)2x＝\f(\r(3),2)2x－\f(1,2)2x＝\f(π,6)2x－\f(π,6)2x＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期为T＝\f(2π,ω)＝\f(2π,2)＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤\f(π,2)，∴－\f(π,6)≤2x－\f(π,6)≤\f(5π,6).由正弦函数的性质，知当2x－\f(π,6)＝\f(π,2)，即x＝\f(π,3)时，f(x)取得最大值1.当2x－\f(π,6)＝－\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最小值－\f(1,2).因此，f(x)在[0，\f(π,2)]上的最大值是1，最小值是－\f(1,2).1．若向量a，b满足＝＝2，a及b的夹角为60°，则＋等于()A．2\r(2＋\r(3)) B．2\r(3)C．4 D．12答案B解析＋2＝2＋2＋260°＝4＋4＋2×2×2×\f(1,2)＝12，＋＝2\r(3).2．已知向量a＝(1，\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为\f(π,6)，则实数m等于()A．2\r(3) \r(3)C．0 D．－\r(3)答案B解析∵a·b＝(1，\r(3))·(3，m)＝3＋\r(3)m，a·b＝\r(12＋\r(3)2)×\r(32＋m2)×\f(π,6)，∴3＋\r(3)m＝\r(12＋\r(3)2)×\r(32＋m2)×\f(π,6)，∴m＝\r(3).3．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝\f(1,2)e1＋2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为\f(1,2)，则k的值为()\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)\f(\r(5),2)\f(\r(7),2)答案A4．若O为△所在平面内任一点，且满足(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))－2\o(,\s\6(→)))＝0，则△的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案C解析因为(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))－2\o(,\s\6(→)))＝0，即\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝0，∵\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝0，即\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|，所以△是等腰三角形，故选C.5.在△中，如图，若\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|，＝2，＝1，E，F为边的三等分点，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))等于()\f(8,9)\f(10,9)\f(25,9)\f(26,9)答案B解析若\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|，则\o(,\s\6(→))2＋\o(,\s\6(→))2＋2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))2＋\o(,\s\6(→))2－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，即有\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，F为边的三等分点，则\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\b\\(\\)(41(o(6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))·\b\\(\\)(41(o(6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))＝\b\\(\\)(41(f(2,3)\o(,\s\6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))·\b\\(\\)(41(f(1,3)\o(,\s\6(→))＋\f(2,3)\o(,\s\6(→))))＝\f(2,9)\o(,\s\6(→))2＋\f(2,9)\o(,\s\6(→))2＋\f(5,9)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\f(2,9)×(1＋4)＋0＝\f(10,9).故选B.6．在△中，M是的中点，＝3，点P在上，且满足\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，则\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))的值为．答案－4解析由题意得，＝2，＝1，所以\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))·2\o(,\s\6(→))＝2×2×1×180°＝－4.7．如图，在△中，O为中点，若＝1，＝3，〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝60°，则\o(,\s\6(→))|＝.答案\f(\r(13),2)解析因为〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝60°，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))60°＝1×3×\f(1,2)＝\f(3,2)，又\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，所以\o(,\s\6(→))2＝\f(1,4)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))2＝\f(1,4)(\o(,\s\6(→))2＋2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))2)，所以\o(,\s\6(→))2＝\f(1,4)(1＋3＋9)＝\f(13,4)，所以\o(,\s\6(→))|＝\f(\r(13),2).8．在△中，若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，则点O是△的(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．答案垂心解析∵\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))＝0，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，∴⊥，即为△底边上的高所在直线．同理\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，故O是△的垂心．9．已知＝4，＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a及b的夹角θ；(2)求＋；(3)若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，求△的面积．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴42－4a·b－32＝61.又∵＝4，＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴θ＝\f(a·)＝\f(－6,4×3)＝－\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝\f(2π,3).(2)＋2＝(a＋b)2＝2＋2a·b＋2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴＋＝\r(13).(3)∵\o(,\s\6(→))及\o(,\s\6(→))的夹角θ＝\f(2π,3)，∴∠＝π－\f(2π,3)＝\f(π,3).又\o(,\s\6(→))|＝＝4，\o(,\s\6(→))|＝＝3，∴S△＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))∠＝\f(1,2)×4×3×\f(\r(3),2)＝3\r(3).10．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝((A－B)，(A－B))，n＝(，－)，且m·n＝－\f(3,5).(1)求的值；(2)若a＝4\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影．解(1)由m·n＝－\f(3,5)，得(A－B)－(A－B)＝－\f(3,5)，所以＝－\f(3,5).因为0＜A＜π，所以＝\r(1－2A)＝\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(3,5)))2)＝\f(4,5).11．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，\o(,\s\6(→))＝－\f(3,2)\o(,\s\6(→))，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则\o(,\s\6(→))＝(a,3)，\o(,\s\6(→))＝(x－a，y)，\o(,\s\6(→))＝(－x，b－y)，由\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由\o(,\s\6(→))＝－\f(3,2)\o(,\s\6(→))，得(x－a，y)＝－\f(3,2)(－x，b－y)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(3,2)x，\f(3,2)y－b))，∴\b\\{\\(\a\4\\1(x－a＝\f(3,2)x，＝\f(3,2)y－\f(3,2)b，))∴\b\\{\\(\a\4\\1(a＝－\f(x,2)，＝\f(y,3).))∴b＞0，y＞0，把a＝－\f(x,2)代入①，得－\f(x,2)\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(x,2)))＋3y＝0，整理得y＝\f(1,4)x2(x≠0)．所以动点M的轨迹方程为y＝\f(1,4)x2(x≠0)．12．已知向量a＝\b\\(\\)(\a\4\\1(，\f(3,4)))，b＝(，－1)．(1)当a∥b时，求2x－2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝\r(3)，b＝2，＝\f(\r(6),3)，求f(x)＋4\b\\(\\)(\a\4\\1(2A＋\f(π,6)))\b\\(\