2024-2025学年青海省西宁市高二上学期期中数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年青海省西宁市高二上学期期中数学质量检测试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知直线，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．已知直线：，直线：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（

）A． B． C． D．5．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A．B．C． D．6．已知点为坐标原点，且，则（

）A．36 B． C．6 D．7．已知直线与圆交于两点，且，则（

）A．4 B． C．2 D．8．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（

）A．30° B． C．60° D．90°二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．向量，若，则（

）A．B．C．D．10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．若点在圆的内部，则B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是C．若圆外切，则D．过点作圆的切线，则的方程是或11．设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（

）A．若，则B．若，，且，则与的夹角为C．若，则直线与平面所成的角为D．若，且，则三、填空题（每小题5分，共15分）12．已知，则与夹角的余弦值为.13．已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则．14．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为.四、解答题(共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（13分）（1）已知空间向量，求（2）已知，若，求实数的值.16.（15分）已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于(1)求圆的方程.(2)当时，求直线的方程．17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点

(1)证明：平面.(2)求平面和平面夹角的余弦值.18.（17分）已知一组动直线方程为.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.(2)若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.19.（17分）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点．求证.(2)求二面角的正切高二数学期中答案一、单选题1．已知直线，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】直线l的斜率，由于，所以，的倾斜角为.故选：A.2．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用投影向量公式进行求解【详解】，故在上的投影向量为．故选：D．3．已知直线：，直线：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可.【详解】由可得，解得或.当时，：，：，显然，重合，舍去，故时，.因此“”是“”的充要条件.故选：C4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与.【详解】因为，，所以，因为与垂直，所以，解得，所以，所以，故选：B.5．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A．B．C．D．【正确答案】C【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．【详解】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．6．已知点为坐标原点，且，则（

）A．36 B． C．6 D．【正确答案】C【分析】根据，求出的值，再利用模长公式求解即可.【详解】因为，所以．又，解得，所以，则，所以．故选.7．已知直线与圆交于两点，且，则（

）A．4 B． C．2 D．【正确答案】D【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离．因为，所以，即，解得.故选：D.8．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（

）A．30° B． C．60° D．90°【正确答案】D【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答.【详解】设，，，则，，，，所以，故直线CE与DF所成的角为90°.故选：D二、多选题9．向量，若，则（

）A．B．C．D．【正确答案】BC【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系.【详解】因为，所以，由题意可得，所以，则．故选：BC10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．若点在圆的内部，则B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是C．若圆外切，则D．过点作圆的切线，则的方程是或【正确答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；对于B，若，则圆，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，若圆外切，则，即，解得，故C正确；对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离，解得，所以的方程是，故D正确.故选：BCD.11．设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（

）A．若，则B．若，，且，则与的夹角为C．若，则直线与平面所成的角为D．若，且，则【正确答案】AC【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，对于A，易知若，则，故A正确；对于B，由，可知，直线，，显然当与平行时，直线可以满足，故B错误；对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确；对于D，若，则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误.故选：AC.三、填空题12．已知，则与夹角的余弦值为.【正确答案】/【分析】由空间向量的数量积公式求解即可．【详解】，.故13．已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则．【正确答案】1【分析】结合切线长定理可得为等边三角形，即可得AB.【详解】由圆：可得圆心坐标为O0,0，半径，由、为圆切线，故，又故，又，故为等边三角形，故.故1.14．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为.【正确答案】【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求.【详解】由已知可得，所以点到平面的距离为.故答案为.四、解答题15．（1）已知空间向量，求；（2）已知，若，求实数的值【正确答案】（1）

（2）.【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长.（2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值.【详解】（1），所以（2）∵，∴，∵，∴，即，解得.16．已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于(1)求圆的方程；(2)当时，求直线的方程．【正确答案】(1)(2)或【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【详解】（1）易知A−1,2到直线的距离为圆A半径r，所以，则圆A方程为（2）过A做,由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，由A−1,2到距离为知得，代入解之可得，所以或为所求方程．17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点

(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）取中点，连接，．

在中，，分别为，的中点，则，，因为，，则，，可知四边形为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

取的中点，连接，因为，，则，.又因为，所以四边形为矩形，且，可知四边形是以边长为2的正方形，则，A2,0,0，，，，，可得DA=2,0,0，，，

设平面的法向量为n=x,y,z，所以，令，则，．所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为．18．已知一组动直线方程为.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标;(2)若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.【正确答案】定点为（4,1）,最小值为8.【分析】（1）直线方程按k分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：直线恒过定点．（2）根据点斜式写出直线方程，求出面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小值．【详解】（1）直线方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直线恒过定点（4,1）．（2）直线分别交x轴的正半轴，轴正半分别交于点两点，设直线方程为其中．令，;令，，所以，当时取等号，．本题较难，考查直线恒过定点的知识，三角形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．19．在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点．(1)求证：；(2)求二面角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得；（2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF，因为是等边三角形，F是P