2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）调研数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）调研数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x3−x=0}，B={x|x2A.{0,1} B.{−1,0} C.{0,1,2} D.{−1,0,1}2.设a、b为向量，则“a⋅b>0”是“a、b的夹角是锐角”的(

)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3.函数f(x)=|sinx|+cos|x|在[−2π,2π]内有(    )个零点．A.3 B.4 C.5 D.64.已知等比数列{an}为递增数列，bn=nan.记Sn，Tn分别为数列{anA.4n−1−1 B.14(4n−15.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,∠BAD=π3,AB=AD=2，若M，N分别是边AD，BC上的动点，满足AM=λAD,BN=(1−λ)BC，其中λ∈(0,1)A.1 B.3 C.13 D.6.已知函数f(x)=x⋅e−x，g(x)=12x2−lnx+a，若∃x1A.(12−1e,2e27.在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c，若b=a(cosC+33sinC)，AD是△ABC的角平分线，点D在BC上，AD=3，A.473 B.73 C.8.李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列{an}：a1=1，a2=2，a3=3，an+3=an+an+1−an+2.给出下列结论：

①a2023=2023A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{an}是等差数列，Sn是其前nA.若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5

B.若a210.设函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=f′(1)ex−1+xA.f(0)=1 B.f′(1)=e C.f′(x)≥0 D.f(x)≥111.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA+tanB=3cacosBA.A=π6

B.若a=2，则该三角形周长的最大值为6

C.若△ABC的面积为2，则a有最小值

D.设BD=c2b+c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若5cosB−8cosC8c−5b=cosAa，又△ABC的面积S=103，且B+C=2A13.已知Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n14.用符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[0.6]=0，[2.3]=2.设f(x)=(1−lnx)(ax2+2lnx)有3个不同的零点x1，x2，x3，若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=23sinωxcosωx−2cos2ωx+2，其中ω>0．

(1)若函数f(x)在区间[0,1]内有且仅有3个零点，求ω的取值范围；

(2)当ω=1时，若对任意实数x1∈[0,π16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1+S2+⋯+Sn=4an−2n−4．

(1)求a1，a2，并求证：n≥217.(本小题15分)

在(1)sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C−sin2B)；(2)1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB；(3)设△ABC的面积为S，且43S+3(b2−a2)=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面横线上.并加以解答.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+alnx−(a+2)x，g(x)=xlnx−x−a+1，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若g(x)有两个零点，求a的取值范围；

(3)若f(x)+1≥g(x)+alnx对任意x≥1恒成立，求a19.(本小题17分)

已知{an}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j.使得ai≤k，aj≤k，其中i≤j.令bk为满足ai≤k的所有i中的最大值，ck为满足aj≥k的所有j中的最小值．

(1)若无穷递增数列{an}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；

(2)若{an}是无穷等比数列，a1=1，公比q为大于1的整数，b3<b4=b5，c3=c4，求q的值；

(3)若参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.−20

13.n+2214.[−2ln315.解：(1)由题意f(x)=3sin2ωx−cos2ωx+1=2sin(2ωx−π6)+1，

∵f(x)=2sin(2ωx−π6)+1在[0,1]内有且仅有3个零点，

∴方程2sin(2ωx−π6)+1=0(ω>0)在[0,1]内恰有三个不相等的实数根．

即y=sin(2ωx−π6)与直线y=−12在[0,1]内恰有三个交点．

令2ωx−π6=t，则−π6≤t≤2ω−π6，

则y=sint与直线y=−12在[π6,2ω−π6](ω>0)内恰有三个交点．

11π6≤2ω−π6<19π6，解得π≤ω<5π3，

故ω的取值范围为16.解：(1)由S1+S2+⋯+Sn=4an−2n−4，可得a1=S1=4a1−2−4，解得a1=2，

当n=2时，a1+a1+a2=4a2−4−4，解得a2=4，

证明：当n≥2时，由S1+S2+⋯+Sn=4an−2n−4，可得S1+S2+⋯+Sn−1=4an−1−2(n−1)−4，

上面两式相减可得Sn=4an−4an−1−2，

当n≥3时，由Sn=4an−4an−1−2，可得Sn−1=417.解：(1)若选(1)，设△ABC的外接圆的半径为R，

由正弦定理可得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，

因为sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C−sin2B)，

所以acsinB=32(a2+c2−b2)，

所以sinB=3(a2+c2−b2)2ac，

又cosB=a2+c2−b22ac，

所以sinB=3cosB，

所以tanB=3，又B∈(0,π)，所以B=π3，

所以cosB=a2+c2−b22ac=12，

所以(a+c)2−b2=3ac，

又b=23，a+c=6，所以ac=8，△ABC的面积S=12acsinB=23；

若选(2)，由1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB，

所以cosAsinA+cosBsinB=sinC3sinAcosB，

所以sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sinC3sinAcosB，

所以sin(A+B)sinAsinB=sinC3sinAcosB，

所以sinB=3cosB，即tanB=3，又B∈(0,π)，

所以B=18.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=2x+ax−(a+2)=2x2−(a+2)x+ax=(x−1)(2x−a)x，

令f′(x)=0，解得x=1或x=a2，

当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)<0；x∈(1,+∞)时，f′(x)>0；

故f(x)的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,+∞)；

当0<a<2时，x∈(a2,1)时，f′(x)<0；x∈(0,a2)∪(1,+∞)时，f′(x)>0；

故f(x)的递增区间是(0,a2)和(1,+∞)，递减区间是(a2,1)；

当a=2时，f′(x)≥0，故f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；

当a>2时，x∈(1,a2)时，f′(x)<0；x∈(0,1)∪(a2,+∞)时，f′(x)>0；

故f(x)的递增区间是(0,1)和(a2,+∞)，递减区间是(1,a2)；

综上，a≤0时，f(x)的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,+∞)；

a=2时，f(x)的递增区间是(0,+∞)，无递减区间；

0<a<2时，f(x)的递增区间是(0,a2)和(1,+∞)，递减区间是(a2,1)；

a>2时，f(x)的递增区间是(0,1)和(a2,+∞)，递减区间是(1,a2)．

(2)令g(x)=0得xlnx−x=a−1，设ℎ(x)=xlnx−x，则ℎ′(x)=lnx，

当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，

ℎ(x)min=ℎ(1)=−1，.因为x→0时ℎ(x)→0，x→+∞时ℎ(x)→+∞，

要使直线y=a−1与函数ℎ(x)的图象有两个交点，则−1<a−1<0，即0<a<1，

故a的取值范围是(0,1)；

(3)由f(x)+1≥g(x)+alnx得x2−x−xlnx≥a(x−1)，

当x=1时上式显然恒成立，

当19.解：(1)∵a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，又∵ai≤4，aj≥4，

∴i≤3且i∈N∗，j≥4且j∈N∗，∴b4=3，c4=4，

(2)由题意知，a1=1，∴an=a1qn−1=qn−1，q>1且q∈Z，

∵ai≤3，∴qi−1≤3，∴i≤1+logq3，

∴b3=[1+logq3]，q>1且q∈Z，

同理，b4=[1