2020-2021学年高中数学-第二章-基本初等函数2.3-幂函数学案新人教A版必修1

2020-2021学年高中数学第二章基本初等函数2.3幂函数学案新人教A版必修12020-2021学年高中数学第二章基本初等函数2.3幂函数学案新人教A版必修12021学年高中数学第二章基本初等函数2.3幂函数学案新人教A版必修12020-2021学年高中数学第二章基本初等函数2.3幂函数学案新人教A版必修1年级：姓名：2.3幂函数内容标准学科素养1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一幂函数的概念eq\a\vs4\al(预习教材P77，思考并完成以下问题)教材P77的5个问题中的函数有什么共同特征？提示：问题中涉及到的函数，都是形如y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．知识梳理一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二幂函数的图象与性质eq\a\vs4\al(预习教材P77－78，思考并完成以下问题)(1)在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝xeq\f(1,2)，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．提示：如图所示：(2)在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．(3)这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝xeq\f(1,2)是非奇非偶函数．知识梳理幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1)[自我检测]1．下列函数中，不是幂函数的是()A．y＝2x B．y＝x－1C．y＝eq\r(x) D．y＝x2解析：由幂函数定义知y＝2x不是幂函数，而是指数函数．答案：A2．函数y＝x3的图象关于__________对称．解析：函数y＝x3为奇函数，其图象关于原点对称．答案：原点授课提示：对应学生用书第53页探究一幂函数的概念[例1](1)下列函数为幂函数的是()A．y＝2x3－1 B．y＝eq\f(2,x)C．y＝eq\f(1,x2) D．y＝2x2(2)若函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m＝[解析](1)幂函数的表达式y＝xα(α∈R)的要求比较严格，系数是1，底数是x，α∈R为常数，选项A、B、D都是幂函数类型的函数，选项C中y＝x－2是幂函数．(2)令m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.当m＝2时，函数y＝x－13，当m＝－1时，函数y＝x2，都是幂函数．[答案](1)C(2)2或－1方法技巧判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪探究1.函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解析：根据幂函数的定义得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.探究二幂函数的图象[例2]如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)， B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)[解析]考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝eq\f(1,2)，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－eq\f(1,2)，曲线c4的n＝－2，故选B.[答案]B方法技巧解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝xeq\f(1,2)或y＝x3)来判断．跟踪探究2.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1解析：在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.答案：B探究三幂函数性质的综合应用[例3](1)比较下列各组中幂值的大小．①30.8,30.7；②0.213,0.233；④，，eq\r(1.1).(2)探讨函数f(x)＝的单调性.[解析](1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7.②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.③∵函数是增函数，且2＞1.8，∴.又∵y＝1.8x是增函数，且eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴.④∵1.2>eq\f(10,9)>1.1，且y＝xeq\f(1,2)在[0，＋∞)上单调递增，∴(2)f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则＝eq\f(1,\r(x2))－eq\f(1,\r(x1))＝eq\f(\r(x1)－\r(x2),\r(x1x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1x2)·\r(x1)＋\r(x2)).因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且eq\r(x1x2)·(eq\r(x1)＋eq\r(x2))>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)在区间(0，＋∞)上是减函数．延伸探究1.本例(2)若增加条件“”求实数a的取值范围．解析：因为在区间(0，＋∞)内是减函数．所以等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).2．把本例(1)的各组数据更换如下，再比较其大小关系．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)解析：(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因为函数y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x为R上的减函数，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，所以.又因为函数y2＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，所以，所以.方法技巧比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小．授课提示：对应学生用书第54页[课后小结]1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．①当α＞1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝x2；②当0＜α＜1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝；③当α＜0时，图象过点(1,1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝等．4．比较大小．①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；③若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．[素养培优]幂函数的性质及应用已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－eq\f(m,3)<(3－2a)－eq\f(m,3)的a的取值范围．思路探究：(1)先由f(x)在(0，＋∞)的单调性，求出参数m的取值范围，再由f(x)的奇偶性舍根，然后借助幂函数y＝xα的单调性解不等式．(2)由f(x1)<f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．解析：∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9＜0，解得m＜3.又m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.∴有.又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)均是减函数，但是在整个定义域内不单调．∴分类讨论如下：(1)当a＋1<0<3－2a，即a<－1时，有；(2)当a＋1<0,3－2a<0时，由，得a＋1>3－2a即a满足