江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下面三组数中是勾股数的一组是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．5，12，133．如图，已知△ABC≌△ADE，∠BAC=55°，∠ADE=100°，则∠C的度数为（

）A．55° B．45° C．35° D．25°4．如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．165．下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中，所有正确说法的序号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．角是轴对称图形，_______是它的对称轴．8．等腰三角形的一个角等于100°，则它的底角是_______°9．如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：．10．直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于．11．如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为cm．12．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为．

13．如图所示，将长方形纸片进行折叠，如果，那么度．14．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为．

15．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为．16．如图，中，，已知平面内有一点，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点有个．三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．已知：如图，，，，、是垂足，．求证：．18．[学科素养·几何直观]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的．（1）作关于直线对称的图形；（2）求的面积；（3）在上画出点，使得的值最小．19．某校有一空地，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，，，，，，若种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？20．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：

21．如图，在中，，．点C在直线l上，分别过点A、B作直线l于点D，直线l于点F．（1）求证：；（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．22．如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．（1）求证：直平分；（2）已知，，求的面积．23．已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中，，（2）在图②中，，．24．已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，点E在AB上，ED⊥AC于点D，M为EC的中点．（1）试判断BM和DM有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）当AE＝2时，△BMD的面积是cm2．25．如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒．（1）当__________时，平分的面积；（2）求当t为何值时，为轴对称图形；（3）若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________．26．【引例】如图，点、、在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形和，，，连接、．则与的关系是______．【模型建立】如图，在和中，，，，连接、相交于点．求证：①；②．【拓展应用】如图，在四边形中，对角线与交于点，，，．若，，求的值．参考答案1．C【详解】第1个行标是轴对称图形，第2个行标不是轴对称图形，第3个行标是轴对称图形，第4个行标是轴对称图形，所以共3个轴对称图形，故选：C．2．D【分析】勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可．【详解】解：A．62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；B．22+32≠42，不能构成勾股数，故错误；C．1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；D．52+122=132，能构成勾股数，故正确．故选：D．【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义．3．D【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵，，在中，，，．故选：D4．D【详解】试题分析：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，，即，解得BD=8，∴BC=16．故选D．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质．5．C【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义及三边关系，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义及三边关系逐项判定即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，原说法正确；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，原说法是错误的；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是40，原说法是错误的；∴正确的说法是①③，故选：．6．C【分析】①连接CF,构造全等三角形,证明△ADF≌△CEF即可.②通过①可得△DFE是等腰直角三角形,则斜边DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.③通过证明△ADF≌△CEF,进行等面积代换即可得出.④通过结论③,换角度将四边形CDFE的面积分为△CDE与△DEF,令△DEF的面积最小即可.【详解】①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，∵AD＝CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∵∠AFD+∠CFD＝90°∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝BC＝4，∴DE＝DF＝，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF，∴S四边形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．故选：C．

【点睛】本题旨在考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的构造与应用,并结合动图和最值问题,熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形,应用数形结合的数学思维是解答关键.7．角平分线所在的直线【分析】根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．故答案为：角平分线所在的直线．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键．8．【分析】本题考查了等腰三角形的性质定理与三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形的性质定理与三角形内角和定理是解题的关键；根据等腰三角形的性质定理与三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个角为，当该角为顶角时，底角为，当该角为底角时，不符合题意，故答案为：9．（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意可得，且，，运用的方法，添加一条边即可求解．【详解】解：∵，∴，根据题意可得，，，∵要运用“”判断，∴添加的条件为：，∵，∴，即，∴，故答案为：．10．5cm##5厘米【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，∴斜边为：，∴斜边上的中线长等于．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键．11．4．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据CD=BC-BD计算即可得解．【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，∴DE=CD，∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，∴DE=4cm，即点D到AB的距离为4cm．故答案为4．考点：角平分线的性质．12．【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案．【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段AB的垂直平分线，，，，，的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．13．55【分析】利用平行线的性质可得∠1＝70°，利用折叠及平行线的性质，三角形的内角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度数．【详解】解：由题意得EF//GH，∵，∴∠1＝∠BHG＝70°，∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°，由折叠可得∠2＝∠FEH，∵AD//BC∴∠2＝∠BHE，∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°．故答案为55．【点睛】考查折叠问题；综合利用平行线的性质，三角形的内角和定理及折叠的性质解题是解决本题的思路．14．【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．【详解】解：∵大正方形的面积是14，∴，∴，∵小正方形的面积是2，∴直角三角形的面积为，又∵直角三角形的面积为，∴，∴，故答案为：．15．14【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解．【详解】解：由勾股定理得，，，，，，，，，（负值舍去），的周长，故答案为：14．16．【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义作出图形即可求解，正确作出图形是解题的关键．【详解】画图如下，满足条件的点有个，故答案为：．17．详见解析【分析】先证Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根据全等三角形性质得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF.【详解】证明：因为，所以∠AED=∠BFC=90°在Rt△AED和Rt△CFB中所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL）所以BF=ED所以BF-EF=ED-EF所以BE=DF【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.18．（1）见解析（2）（3）见解析【分析】（1）本小问考查作图之轴对称变换，分别作出、、关于直线的对应点，依次连接对应点，即可解题．（2）本小问可利用割补法求三角形面积．（3）本小问考查利用“将军饮马”模型求线段和最小值，灵活掌握该模型即可解题．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：如图所示，的面积等于矩形的面积减去①、②、③三个三角形的面积，即．（3）解：如图，点即为所求．19．元【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据求出四边形的面积即可求解，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键．【详解】解：连接，∵，，，∴，在中，，，∴，∴为直角三角形，∴，∴，∴共需要投入元．20．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB，证明见解析【分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案．【详解】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=AB，证明：

延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB.【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．21．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）通过证明，得，，即可得出结论；（2）利用等面积法证得勾股定理．【详解】（1），，．，又，．在和中，．．（2）由（1）知：，，．．又．．整理，得．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，证明是解题的关键．22．（1）见解析（2）19【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识．（1）由角平分线性质得到，证明，则，即可证明直平分；（2）由（1）可知．根据，，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，于点E，于点F，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴垂直平分；（2）解：由（1）可知．∵，，∴．23．（1）画图见解析（2）画图见解析【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握基本几何图形的性质并应用于作图是解本题的关键．（1）如图，先过作直线的垂线，垂足为，再以为圆心，为半径画弧，交直线于，，连接，即可；由等腰直角三角形的性质可得：，可得，；（2）如图，过作直线的垂线，垂足为，截取，以为圆心，为半径画弧，交直线于，作线段的垂直平分线交直线于，再以为圆心，为半径画弧交直线于，连接，，可得，连接，则，可得为等边三角形，可得，，可得，可得为等边三角形，可得．【详解】（1）解：如图，，，即为求作的线段与直角；（2）如图，线段，，即为求作的线段与角；24．（1）BM⊥DM，BM＝DM，见解析；（2）12.5【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根据三角形的外角性质解答即可；（2）利用勾股定理求出CE的长度，根据（1）已求证的结论可得到BM、DM的长度，再运用直角三角形面积公式求解即可．【详解】（1）位置和数量关系：BM⊥DM，BM＝DM．∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，点M为EC的中点，AB＝BC，∴BM＝CE＝CM，DM＝CE＝CM，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BM＝DM，∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD∵∠BME＝∠MBC+∠MCB，∠DME＝∠MDC+∠MCD∠MCB+∠MCD＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝45°+45°＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM（2）由（1）知BM＝DM，，∵，∴，∴，由（1）已证，∴，，故答案是：12.5．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解