《3.8角平分线》导学案

《3.8角平分线》导学案一、学习目标1、同学们要能清楚地说出角平分线的定义，就像能准确说出自己家的地址一样。2、要会用尺规作一个角的平分线，就像学会系鞋带一样熟练。3、能够运用角平分线的性质去解决一些简单的几何问题，就像用钥匙开锁一样自然。二、重点和难点1、重点角平分线的定义和性质，这可是我们今天要掌握的核心内容，就像一场比赛的关键得分点。用尺规作角平分线的方法，这是我们的一项重要技能，就像骑自行车时掌握平衡的技巧。2、难点角平分线性质的理解和应用，可能一开始会有点像在迷宫里找路，但只要我们认真思考就能搞清楚。尺规作角平分线过程中的规范操作和准确作图，这就像在做精细的手工活，每一步都得小心。三、课前预习设计（一）知识回顾1、同学们，我们先回忆一下角的定义。角是由什么组成的呢？就像我们回忆小时候玩过的拼图，角是由两条有公共端点的射线组成的。那这个公共端点叫什么呢？对啦，叫顶点。2、再想想我们之前学过的角的度量单位有哪些呢？是度、分、秒呀。就像我们在数钱的时候有元、角、分一样。（二）预习自测1、下面哪个图形中的线可能是角平分线呢？（给几个图形供选择）图A：一条直线把一个角分成两个大小不相等的角。图B：一条射线把一个角分成两个大小相等的角。图C：一条线段把一个角分成两个角。答案当然是图B啦，因为角平分线就是把一个角分成两个相等角的射线。2、如果一个角是60度，它的角平分线把这个角分成了两个角，那这两个角分别是多少度呢？很简单，每个角都是30度，因为角平分线把角平分呀。（三）我的疑惑在预习过程中，你有没有遇到什么问题呢？比如对角平分线的定义理解得还不是很透彻，或者不知道尺规作角平分线的第一步该怎么做。把这些疑惑写下来，在课堂上我们就可以重点解决啦。四、课堂教学设计（一）探究一：角平分线的定义1、引入故事我给大家讲个故事。有一天，我去蛋糕店买蛋糕。蛋糕师傅把一个圆形的蛋糕切成了好几块。其中有一块蛋糕，他从中间切了一刀，结果这一块蛋糕就被分成了两个大小一样的部分。这就像我们的角平分线把一个角分成两个相等的角一样。那现在我们来正式看看角平分线的定义。同学们，从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，就叫做这个角的角平分线。大家可以在本子上画一个角，然后试着画一下它的角平分线，感受一下。2、小组讨论小组内讨论一下，在生活中还有哪些地方能看到类似角平分线的情况呢？比如说，把一个披萨切成相等的两块，那这条切割线就有点像角平分线啦。每个小组可以派一个代表来说一说你们小组想到的例子。（二）探究二：用尺规作角平分线1、教师示范现在老师来给大家示范一下怎么用尺规作一个角的平分线。就像我们要做一个精细的手工，每一步都很重要哦。首先，我们画一个角∠AOB。然后，以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于C，交OB于D。这一步就像我们在地图上确定两个点一样。接着，分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E。这一步要小心，半径的长度要合适，不然两弧可能交不到一起或者会有奇怪的情况发生。最后，作射线OE，射线OE就是∠AOB的平分线啦。就像我们完成了一个小魔术，把一个角平分了。2、学生实践同学们自己动手用尺规作一个角的平分线。在做的过程中，如果遇到问题，可以看看旁边同学是怎么做的，也可以举手问老师。做完之后，同桌之间互相检查一下，看看对方做的对不对。（三）探究三：角平分线的性质1、观察与发现我们在刚才作的角平分线的图上再做点事情。在角平分线OE上取一点P，过P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N。然后我们来测量一下PM和PN的长度。同学们发现了什么？是不是PM＝PN呢？这就是角平分线的一个很重要的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。就像我们在一条平分的道路上，从中间的一个点到两边的距离是一样的。2、理论推导那我们来推导一下这个性质。因为OE是∠AOB的平分线，所以∠AOP＝∠BOP。又因为∠PMO＝∠PNO＝90度，OP＝OP（公共边），根据三角形全等的判定定理（AAS），可以得出△PMO≌△PNO，所以PM＝PN。同学们要理解这个推导过程，这样才能更好地运用这个性质。（四）拓展提升1、已知∠ABC，BD是它的角平分线，点E在BD上，EF⊥AB于F，EG⊥BC于G，EF＝3，求EG的长度。同学们先思考一下，这道题考查的是什么知识呢？对啦，就是角平分线的性质。因为BD是角平分线，E在BD上，EF⊥AB，EG⊥BC，所以根据角平分线的性质，EG＝EF＝3。2、在△ABC中，∠C＝90度，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，若BC＝8，BD＝5，求DE的长度。这道题有点难度哦。我们先分析一下，因为AD是角平分线，∠C＝90度，DE⊥AB，所以根据角平分线的性质，CD＝DE。又因为BC＝8，BD＝5，所以CD＝BCBD＝85＝3，所以DE＝3。（五）当堂检测1、判断题（1）角平分线就是角的对称轴。（错，角平分线所在的直线才是角的对称轴）（2）一个角的角平分线把这个角分成两个直角。（错，除非这个角是180度）（3）到角两边距离相等的点一定在角平分线上。（错，应该是在角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上）2、填空题（1）已知∠AOB＝120度，OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC＝60度。（2）在△ABC中，∠C＝90度，AD平分∠BAC，若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是4。3、解答题已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF。求证：BD＝CD。思路：先根据角平分线的性质得到DE＝DF，然后利用HL定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得出BD＝CD。五、课后巩固设计（一）基础巩固1、选择题（1）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.4答案：B。因为OP平分∠MON，PA⊥ON，根据角平分线的性质，点P到OM的距离等于PA＝2，当PQ垂直OM时，PQ最小，最小值为2。（2）如图，在△ABC中，∠C＝90度，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm答案：A。因为AD平分∠BAC，∠C＝90度，所以点D到AB的距离等于CD，又因为BC＝10cm，BD＝6cm，所以CD＝BCBD＝106＝4cm。2、填空题（1）已知∠AOB＝80度，其角平分线为OC，则∠AOC的度数为40度。（2）在Rt△ABC中，∠C＝90度，∠A＝30度，BD是∠ABC的角平分线，若AC＝6，则点D到AB的距离为3。（二）能力提升1、如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180度。思路：在BC上截取BE＝BA，连接DE。先证明△ABD≌△EBD，得到∠A＝∠BED，AD＝ED，又因为AD＝CD，所以ED＝CD，从而得到∠C＝∠DEC，最后得出∠A+∠C＝∠BED+∠DEC＝180度。2、已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。求证：ACAB＝2BE。思路：延长BE交AC于F。先证明△ABE≌△AFE，得到AB＝AF，BE＝EF，所以ACAB＝ACAF＝FC，又因为∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，所以∠FBC＝∠C，从而得到FC＝2BF＝2BE。（三）拓展探究1、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108度，BD平分∠ABC交AC于D。求证：BC＝AB+CD。思路：在BC上截取BE＝BA，连接DE。先证明△ABD≌△EBD，得到∠A＝∠BED＝108度，AD＝ED，所以∠DEC＝72度，又因为AB＝AC，∠A＝108度，所以∠C＝36度，从而得到∠CDE＝