《2.6.1 双曲线的标准方程》学习任务单

《2.6.1双曲线的标准方程》学习任务单“双曲线及其方程之双曲线的标准方程”学习单班级：姓名：组号：【学习内容】高中人教B版（2019）选择性必修第一册第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程相关内容【我的目标】1、能说出双曲线的定义，就像能清楚地说出自己最喜欢的明星的特征一样准确。2、会推导双曲线的标准方程，就像会推导1+1=2那样熟练。3、能够正确运用双曲线的标准方程解决简单的数学问题，就像能轻松地用钥匙打开家门一样自然。【重难点】重点：双曲线标准方程的推导过程以及理解。难点：根据双曲线的定义准确建立坐标系来推导标准方程。【我的研究】一、双曲线的定义探索1、想象一下，我们在一个很大很大的操场上。有两个小伙伴，一个在操场的左边某个位置（设为F1），另一个在操场的右边某个位置（设为F2）。现在有一个调皮的小皮球，这个小皮球在操场上滚动，但是呢，它到这两个小伙伴的距离之差的绝对值是一个定值（假设这个定值是2a，a>0）。那这个小皮球滚动的轨迹就是双曲线啦。现在你试着用数学语言来描述一下双曲线的定义呢？2、那如果我们改变这个定值2a的大小，你觉得双曲线的形状会发生什么变化呢？是会变得更胖还是更瘦呢？你可以自己在纸上简单画一下，感受一下哦。二、双曲线标准方程的推导1、我们要推导双曲线的标准方程啦。首先，我们要建立一个坐标系。那怎么建立才好呢？我们以F1和F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设双曲线的焦距为2c（c>0），那么F1和F2的坐标分别是什么呢？2、设双曲线上任意一点P（x，y），根据双曲线的定义，|PF1-PF2|=2a。那你能根据两点间距离公式把PF1和PF2表示出来吗？PF1=sqrt((x+c)^2+y^2)，PF2=sqrt((x-c)^2+y^2)，然后把|PF1-PF2|=2a这个式子展开化简一下吧。这个过程可能有点像在解开一个很复杂的谜题哦，不过只要你一步一步来，就一定可以的。3、在化简的过程中，我们会得到一个很复杂的式子，但是不要害怕。我们可以通过一些数学技巧来继续化简。比如移项、平方等操作。你能试着把它化简成双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1的形式吗？这里面还有一个小知识哦，我们令b²=c²-a²（b>0），这样双曲线的标准方程就变成了我们常见的x^2/a^2-y^2/b^2=1啦。你看，经过这么多步骤，就像攀登一座山峰一样，终于到达了山顶，得到了双曲线的标准方程呢。三、双曲线标准方程的应用1、现在我们已经知道了双曲线的标准方程，那我们就来用它解决一些问题吧。比如说，已知双曲线的焦点在x轴上，焦距是6，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值是4，那你能求出双曲线的标准方程吗？按照我们前面推导的思路，先求出a、b、c的值，然后代入标准方程就可以啦。这就像我们知道了做蛋糕的配方，然后按照配方做出美味的蛋糕一样。2、再看一个问题，如果双曲线的标准方程是x^2/9-y^2/16=1，那这个双曲线的焦点坐标是什么呢？实半轴长和虚半轴长分别是多少呢？这个问题就像在一个装满宝藏的箱子里找特定的宝物一样，根据标准方程的形式，我们就能找到这些答案哦。【组内过关】（课内完成）1、对于双曲线的定义，下面的说法正确的是（）A.平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹是双曲线。B.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定长（定长小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线。C.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定长（定长大于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线。D.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定长（定长等于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线。2、已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，且一个焦点坐标为（5，0），实半轴长为3，求双曲线的标准方程。3、若双曲线的标准方程为y^2/16-x^2/9=1，求它的焦点坐标、实半轴长、虚半轴长。【当堂检测】（课内完成）1、双曲线的焦距是10，实轴长是8，求双曲线的标准方程（分焦点在x轴和y轴两种情况）。2、已知双曲线的标准方程为x^2/16-y^2/9=1，双曲线上一点P到一个焦点的距离为7，求P到另一个焦点的距离。3、若双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（2，-3），实半轴长为3，求双曲线的标准方程。【互动环节】1、在小组内互相分享一下你在推导双曲线标准方程时遇到的困难，以及你是怎么克服的。就像分享自己的冒险故事一样，说不定你的方法能帮助到其他小伙伴呢。2、对于双曲线标准方程的应用问题，大家一起讨论一下有没有什么更简便的解题思路。【自我评估方法及标准】自我评估方法：1、对于双曲线定义的理解，如果能准确无误地说出定义并且能通过例子解释清楚，那就说明掌握得很好。如果在描述时有一些小错误或者解释不清楚，那就还需要复习一下。2、在推导双曲线标准方程时，如果能够独立完成推导过程，并且每一步的理由都能说清楚，那就是优秀。如果在推导过程中需要一些提示或者有步骤错误，那就要加强练习。3、对于应用问题，如果能够正确解答大部分题目，并且解题思路清晰，那就是掌握得不错。如果错误较多或者解题思路混乱，那就需要重新学习相关知识。标准：1、双曲线定义部分：回答正确得30分，有小错误得20分，错误较多得10分。2、标准方程推导部分：独立正确推导得30分，在提示下完成得20分，推导错误得10分。3、应用问题部分：正确解答3题及以上得40分，正确解答2题得30分，正确解答1题得20分，都答错得10分。答案：【组内过关】1、B2、因为焦点在x轴上，中心在原点，一个焦点坐标为（5，0），所以c=5，又实半轴长a=3，根据c²=a²+b²，可得b²=c²-a²=25-9=16，所以双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/16=1。3、焦点坐标为（0，±5），实半轴长为4，虚半轴长为3。【当堂检测】1、因为焦距2c=10，所以c=5，实轴长2a=8，所以a=4，由c²=a²+b²可得b²=9。当焦点在x轴上时，标准方程为x^2/16-y^2/9=1；当焦点在y轴上时，标准方程为y^2/16-x^2/9=1。2、根据双曲线的定义，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值等于实轴长2a，由标准方程x^2/16-y^2/9=1可知a=4，设点P到另一个焦点的距离为d，则|7-d|=8，解得d=15或d=-