《1.1.2 余弦定理》学习任务单

《1.1.2余弦定理》学习任务单班级：＿_____姓名：＿_____组号：＿_____【学习内容】高中人教A版必修5第一章1.1.2余弦定理相关内容，包括教材中的例题、习题等。【我的目标】1、能够准确说出余弦定理的内容，就像能清楚说出自己家的地址一样准确。2、熟练运用余弦定理求解三角形的边，就像熟练使用筷子吃饭一样自然。3、熟练运用余弦定理求解三角形的角，像解开自己最熟悉的鞋带那么轻松。【重难点】重点：余弦定理的理解，就像理解游戏规则才能玩游戏一样重要。余弦定理在求解三角形边和角时的应用，这可是我们要攻克的主要“城堡”。难点：根据已知条件准确选择余弦定理的形式进行计算，这就像在不同的天气选择合适的衣服一样需要判断力。在解三角形时，对多解情况的判断，就像在岔路口选择正确的道路一样有难度。【我的研究】一、故事引入咱们先来说个事儿啊。有一天，我去公园散步，看到有几个工人师傅在测量一块三角形的草地。他们知道草地的两条边的长度，还知道这两条边夹角的大小，但是他们想知道第三条边的长度。这时候啊，就需要咱们今天要学的余弦定理来帮忙啦。1、探索余弦定理咱们先从一个简单的直角三角形开始。假如有一个直角三角形ABC，角C是直角。根据勾股定理我们知道a²＋b²＝c²，那如果这个三角形不是直角三角形呢？咱们来做个小实验。我们画一个任意的三角形ABC，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c。然后我们从C点向AB边作一条高CD，把AB分成AD和DB两部分。设AD＝x，DB＝cx。根据勾股定理在直角三角形ACD中，CD²＝b²x²；在直角三角形BCD中，CD²＝a²（cx)²。因为CD²的值是固定的，所以我们可以得到：b²x²＝a²（cx)²展开这个式子：b²x²＝a²（c²2cx＋x²)b²x²＝a²c²＋2cxx²消去x²后得到：b²＝a²c²＋2cx又因为在直角三角形ACD中，cosA＝x／b，即x＝bcosA。把x＝bcosA代入上式，就得到了余弦定理的一种形式：b²＝a²＋c²2accosB同理，我们可以得到另外两个形式：a²＝b²＋c²2bccosAc²＝a²＋b²2abcosC2、简单应用现在咱们来做个小练习。已知三角形ABC中，a＝3，b＝4，角C＝60°，求边c的长度。根据余弦定理c²＝a²＋b²2abcosC，把数值代入：a＝3，b＝4，cosC＝cos60°＝1/2c²＝3²＋4²2×3×4×（1/2)c²＝9＋1612c²＝13所以c＝√13。3、求解角那如果我们知道三边的长度，怎么求角呢？咱们把余弦定理变一变。从a²＝b²＋c²2bccosA可得：cosA＝（b²＋c²a²)／（2bc)现在已知三角形ABC中，a＝5，b＝6，c＝7，求角A。把数值代入：cosA＝（6²＋7²5²)／（2×6×7)cosA＝（36＋4925)／（84)cosA＝60／84＝5／7然后我们可以用反三角函数求出角A的大小。4、多解情况的思考咱们再想一个情况啊。假如已知a＝5，b＝3，角A＝30°，求边c。根据余弦定理a²＝b²＋c²2bccosA，得到：25＝9＋c²3√3c整理成一元二次方程的形式：c²3√3c16＝0这个方程有两个解。那在三角形中，这两个解是不是都合理呢？这就需要我们根据三角形的性质，比如两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断。【组内过关】（课内完成）1、在三角形ABC中，a＝7，b＝8，c＝9，求角A、B、C。首先求角A：根据cosA＝（b²＋c²a²)／（2bc)，把a＝7，b＝8，c＝9代入：cosA＝（8²＋9²7²)／（2×8×9)cosA＝（64＋8149)／144cosA＝96／144＝2／3然后用反三角函数求出角A。接着求角B：根据cosB＝（a²＋c²b²)／（2ac)，代入数值计算。最后求角C：根据角A、B的值，利用三角形内角和为180°求出角C。2、已知三角形ABC中，b＝5，c＝3，角A＝120°，求边a的长度。根据a²＝b²＋c²2bccosA，代入数值计算。【当堂检测】（课内完成）1、在三角形ABC中，a＝10，b＝12，角C＝45°，求边c的长度。2、已知三角形ABC中，a＝6，b＝8，c＝10，求角A、B、C。3、已知三角形ABC中，a＝4，b＝6，角A＝30°，求边c的长度，并判断解的个数。【互动环节】1、小组内互相分享自己在做习题过程中遇到的困难，就像分享自己的小秘密一样。然后大家一起讨论解决办法。2、每个小组选一个代表，向全班分享本小组在学习余弦定理时最有趣的发现或者最容易出错的地方。【自我评估与反馈】1、自我评估方法对于目标1（准确说出余弦定理内容），自己默写余弦定理的三种形式，如果完全正确，就给自己一颗星。对于目标2（运用余弦定理求解边），检查自己在组内过关和当堂检测中关于求解边的题目，如果正确率在80%以上，给自己两颗星；如果在60%80%之间，给自己一颗星；如果低于60%，就需要再复习一下啦。对于目标3（运用余弦定理求解角），同样根据在题目中的正确率按照上述标准给自己星星。2、教师反馈老师会根据大家在组内过关和当堂检测中的表现，进行一对一的反馈。如果发现你在某个知识点上有问题，老师会给你指出问题所在，并且给你一些额外的练习题目。老师还会根据每个小组在互动环节中的表现，评选出最佳学习小组，给予表扬和小奖励哦。【答案】【组内过关】1、求角A：cosA＝（8²＋9²7²)／（2×8×9)＝2／3，角A＝arccos(2／3)。求角B：cosB＝（7²＋9²8²)／（2×7×9)＝11／21，角B＝arccos(11／21)。求角C：角C＝180°角A角B。a²＝5²＋3²2×5×3×cos120°＝25＋9＋15＝49，a＝7。【当堂检测】1、c²＝10²＋12²2×10×12×cos45°＝100＋144120√2＝244120√2，c＝√（244120√2)。2、cosA＝（8²＋10²6²)／（2×8×10)＝4／5，角A＝arccos(4／5)。cosB＝（6²＋10²