2024-2025学年辽宁省大连市大连八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连八中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x∈R，有x2+2x+2≤0”的否定是(

)A.∀x∈R，有x2+2x+2>0 B.∃x∈R，有x2+2x+2≤0

C.∃x∈R，有x22.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|1<x<3}，则A∩(∁RB)=A.(0,1] B.(0,1) C.(2,3) D.(2,3]3.设x∈R，则“4<x<5”是“x−2>1”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.集合A={1,x,y}，B={1,x2,2y}，若A=B，则实数x的取值集合为A.{12} B.{12,−5.若a>1，则4a+1a−1的最小值为(

)A.4 B.6 C.8 D.无最小值6.关于x，y，z的方程组ax+(2a−1)y=a2+2a−1x+ay=2aA.一定有解 B.可能有唯一解 C.可能有无穷多解 D.可能无解7.已知方程x2+2ax+a+6=0的两不等根分别是x1和x2，且满足x12A.[−5,−1] B.[1,5] C.[−5,−2) D.(3,5]8.若a>b，且ab=2，则(a−1)2+(b+1)A.25−2 B.26−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b>0，b>c，则下列不等式一定成立的是(

)A.ba2<ab2 B.a10.已知方程x2+ax+b=0(a>0)有两个相等实根，则(

)A.a2−b2≤4

B.若不等式x2+ax−b<0的解集为(x1,x2)11.已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：

①集合P，Q中的元素都为正数；

②∀a，b∈Q(a≠b)，都有ab∈P；

③∀a，b∈P(a≠b)，都有ab∈Q；

则下列说法正确的是(

)A.若P有2个元素，则Q有3个元素 B.若P有2个元素，则P∪Q有3个元素

C.若P有2个元素，则P∩Q有1个元素 D.存在满足条件且有3个元素的集合P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.不等式x−2x>2的解集是______．13.已知x∈R，记符号[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|[x]2−2[x]=3}，B=[−1,2]，则A∩B=______.(答案用区间表示14.已知a，b，c均为正实数，且a+b=1，则当1a+4b取得最小值时a=______，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|x2−5x−14≤0}，B={x|m+1≤x≤m+3,m∈R}．

(1)当m=5时，求A∪B和B∩∁RA；

(2)16.(本小题15分)

设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2(a∈R)．

(1)若不等式f(x)≥−2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式：f(x)<a−117.(本小题15分)

已知x1，x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0(k≠0)的两个实数根．

(1)是否存在实数k，使x12+x2218.(本小题17分)为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入.据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且90≤x≤150)，调整后研发人员的年人均投入增加(2x)%，技术人员的年人均投入调整为a(m−x(1)要使这200−x名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围;若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

已知集合A为非空数集，定义A+={x|x=a+b,a,b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(1)若集合A={−1,1}，直接写出集合A+及A−；

(2)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.AC

10.ACD

11.BC

12.(−2,0)

13.[−1,0)

14.13

615.解：(1)当m=5时，B={x|6≤x≤8}，

因为A={x|−2≤x≤7}，

所以A∪B={x|−2≤x≤8}，B∩∁RA={x|7<x≤8}；

(2)因为B={x|m+1≤x≤m+3,m∈R}，

所以∁RB={x|x<m+1或x>m+3}，

因为A∩∁RB=A，所以A⊆∁RB，

因为A={x|−2≤x≤7}，

所以m+1>7或m+3<−2，

解得m>6或16.解：(1)f(x)≥−2对一切实数x恒成立，等价于∀x∈R，ax2+(1−a)x+a≥0恒成立．

当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意．

当a≠0，有a>0Δ≤0，即a>03a2+2a−1≥0，解得a≥13，

所以a的取值范围是[13,+∞)．

(2)依题意，f(x)<a−1等价于ax2+(1−a)x−1<0，

当a<0时，不等式化为(ax+1)(x−1)<0，

①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；

②当−1<a<0时，−1a>1，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；

③当a<−1时，−1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}；

当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}．

当a>0时，不等式化为(ax+1)(x−1)<0，此时−17.解：(1)因为x1，x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0(k≠0)的两个实数根，

可得Δ=16k2−4⋅4k⋅(k+1)≥0，即k<0，

且x1+x2=1，x1x2=k+14k，

又因为x12+x22=14，即(x1+x2)2−2x1x2=18.解：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为[1+(2x)％]a万元，

则(200−x)[1+(2x)%]a≥200a，(a>0)

解得0≤x≤150，

∵90≤x≤150，所以调整后的技术人员的人数最多150人;

(2) ①由技术人员的年人均投入始终不减少有a(m−x25)≥a，解得m≥x25+1

 ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

(200−x)[1+(2x)%]a≥x(m−x25)a，

两边同除以ax得(200x−1)(1+x50)≥m−x25，

整理得m≤200x+x50+3，

故有x25+1≤m≤200x+19.解：(1)根据题意，由A={−1,1}，则A+={−