2024-2025学年高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性课时素养评价含解析北师大版选修2-2

PAGE课时素养评价十三导数与函数的单调性(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是 ()A.(-∞，2) B.(0，3)C.(1，4) D.(2，+∞)【解析】选D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，令f′(x)>0，即(x-2)ex>0，解得x>2.2.y=xlnx在(0，5)内的单调性是 ()A.增加的B.削减的C.在QUOTE内是削减的，在QUOTE内是增加的D.在QUOTE内是增加的，在QUOTE内是削减的【解析】选C.函数的定义域为(0，+∞).y′=lnx+1，令y′>0，得x>QUOTE；令y′<0，得0<x<QUOTE.所以函数y=xlnx在QUOTE内是削减的，在QUOTE内是增加的.3.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b<0时，f(x)是()A.增函数 B.减函数C.常数 D.既不是增函数也不是减函数【解析】选A.求得函数的导函数f′(x)=3x2+2ax+b，导函数对应方程f′(x)=0的Δ=4(a2-3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数.4.已知函数f(x)=x2-9lnx+3x在其定义域内的子区间(m-1，m+1)上不单调，则实数m的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为fQUOTE=x2-9lnx+3x在其定义域(0，+∞)的子区间QUOTE上不单调，所以函数fQUOTE=x2-9lnx+3x在区间QUOTE上有极值，由f′QUOTE=2x-QUOTE+3=QUOTE=0，得x=QUOTE或x=-3(舍去)，所以0≤m-1<QUOTE<m+1，解得1≤m<QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)5.当x>0时，f(x)=x+QUOTE的单调递减区间是_________.

【解析】f′(x)=1-QUOTE=QUOTE=QUOTE.由f′(x)<0且x>0得0<x<QUOTE.答案：(0，QUOTE)6.已知函数f(x)=kex-1-x+QUOTEx2(k为常数)，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的递减区间为_________.

【解析】f′(x)=kex-1-1+x，因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，所以f′(0)=k·e-1-1=0，解得k=e，故f′(x)=ex+x-1.令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)的递减区间为(-∞，0).答案：(-∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分)7.求下列各函数的单调区间：(1)f(x)=2x3-3x2.(2)f(x)=QUOTE.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=6x2-6x.令f′(x)>0，即6x2-6x>0，解得x>1或x<0；令f′(x)<0，即6x2-6x<0，解得0<x<1.所以f(x)的递增区间是(-∞，0)和(1，+∞)；递减区间是(0，1).(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f′(x)=QUOTE.令f′(x)>0，即QUOTE>0，得0<x<e；令f′(x)<0，即QUOTE<0，得x>e，所以f(x)的递增区间是(0，e)，递减区间是(e，+∞).8.设函数f(x)=QUOTEx3+mx2+1的导函数为f′(x)，且f′(1)=3.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f′(x)=x2+2mx，所以f′(1)=1+2m=3，所以m=1.所以f(x)=QUOTEx3+x2+1，所以f(1)=QUOTE.所以切线方程为y-QUOTE=3(x-1)，即9x-3y-2=0.(2)f′(x)=x2+2x=x(x+2)，令f′(x)>0，得x>0或x<-2，令f′(x)<0，得-2<x<0，所以函数f(x)的递增区间为(-∞，-2)，(0，+∞)，递减区间为(-2，0).(15分钟·30分)1.(5分)函数f(x)=QUOTEx3-x2+ax-5在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是 ()A.(-∞，-3] B.(-3，1)C.[1，+∞) D.(-∞，-3]∪[1，+∞)【解析】选B.因为f(x)=QUOTEx3-x2+ax-5，所以f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，假如函数f(x)=QUOTEx3-x2+ax-5在区间[-1，2]上单调，那么a-1≥0或QUOTE解得a≥1或a≤-3，于是满意条件的a∈(-3，1).2.(5分)函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f′(x)的图像可能是 ()【解析】选D.由f(x)的图像知，f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，所以在(0，+∞)上f′(x)<0，在(-∞，0)上f′(x)>0，故选D.3.(5分)已知函数f(x)=-QUOTEx2+3x-2lnx，则函数f(x)的递增区间为_________.

【解析】由题可得f′(x)=-x+3-QUOTE=-QUOTE，令f′(x)>0，解得1<x<2，故函数f(x)的递增区间为(1，2).答案：(1，2)4.(5分)已知函数f(x)=alnx+QUOTEx2(a>0)，若对随意两个不相等的正实数x1，x2，QUOTE≥2恒成立，则实数a的取值范围是_________.

【解析】因为对随意两个不相等的正实数x1，x2，QUOTE≥2恒成立，所以f′(x)≥2恒成立，因为f′(x)=QUOTE+x≥2QUOTE，所以2QUOTE≥2，即a≥1.故实数a的取值范围是[1，+∞).答案：[1，+∞)5.(10分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像经过点P(0，2)，且在点M(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x)的单调区间.【解析】(1)由y=f(x)的图像经过点P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，f′(x)=3x2+2bx+c.由在点M(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.所以QUOTE即QUOTE解得b=c=-3.所以所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f′(x)=3x2-6x-3.令f′(x)>0，得x<1-QUOTE或x>1+QUOTE；令f′(x)<0，得1-QUOTE<x<1+QUOTE.所以f(x)=x3-3x2-3x+2的递增区间为(-∞，1-QUOTE)和(1+QUOTE，+∞)，递减区间为(1-QUOTE，1+QUOTE).1.(2024·宜昌高二检测)已知函数g(x)的导函数g′(x)=ex，且g(0)g′(1)=e，其中e为自然对数的底数.若存在x∈[0，+∞)，使得不等式QUOTEg(x)<x-m+3成立，则实数m的取值范围为_________.

【解析】由题意设g(x)=ex+c，则g′(x)=ex，g(0)=1+c，g′(1)=e，所以g(0)g′(1)=(1+c)e=e，解得c=0，即g(x)=ex，则QUOTEg(x)<x-m+3可化为QUOTEex-x<-m+3，令F(x)=QUOTEex-x，原问题可转化为-m+3>F(x)min.因为F′(x)=QUOTEex+QUOTEex-1=QUOTEex-1，当x>0时，2x+1>x+1≥2QUOTE，ex>1，即F′(x)=QUOTEex-1>0，即函数F(x)在区间[0，+∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)=0，所以-m+3>0，即m<3.故实数m的取值范围为(-∞，3).答案：(-∞，3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R.(1)探讨函数f(x)的单调区间.(2)设函数f(x)在区间QUOTE内是削减的，求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+1，Δ=4(a2-3).当Δ>0，即a>QUOTE或a<-QUOTE时，令f′(x)>0，即3x2+2ax+1>0，解得x>QUOTE或x<QUOTE；令f′(x)<0，即3x2+2ax+1<0，解得QUOTE<x<QUOTE.故函数f(x)的递增区间是QUOTE，QUOTE；递减区间是QUOTE.当Δ<0，即-QUOTE<a<QUOTE时，对全部的x∈R都有f′(x)>0，故f(x)在R上单调递增.当Δ=0，即a=±QUOTE时，f′QUOTE=0，且对全部的x≠-QUOTE都有f′(x)>0，故f(x)在R上是增函数.(2)由(1)知只有当a>QUOTE或a<-QUOTE时，f(x)在QUOTE内是削减的，所以QUOTE解得a≥2.故a的取值范围是[2，+∞).【加练·固】已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)试探讨函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=QUOTE+f(x)在[1，2]上是削减的，求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2x+QUOTE=QUOTE，函数f(x)的定义域为(0，+∞).①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)的递增区间为(0，+∞)；②当a<0时，f′(x)=QUOTE，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如表：x(0，QUOTE)(QUOTE，+∞)f′(x)-0+f(x)↘↗由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0，QUOTE)，递增区间是(QUOTE，+∞).(2)由g(x)=QUOTE+x2+2alnx，得g′(x)=-QUOTE+2x+QUOTE，由已知