2024-2025学年新教材高中数学第十章概率同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养评价(五)(第十章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的个数为 ()①彩票的中奖率为千分之一,那么买一千张彩票就确定能中奖;②抛掷一枚匀称的硬币,假如前两次都是反面,那么第三次出现正面的可能性就比反面大;③在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球,甲乙玩嬉戏的规则是从中不放回地依次随机摸出两个小球,如两球同色则甲获胜,否则乙获胜,那么这种嬉戏是公允的.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选D.对于①,彩票的中奖率为千分之一,但买一千张彩票不确定能中奖,故错误;对于②,抛掷一枚匀称的硬币,假如前两次都是反面,第三次出现正面的可能性与出现反面一样大,故错误;对于③,在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球,甲乙玩嬉戏的规则是从中不放回地依次随机摸出两个小球,如两球同色则甲获胜,否则乙获胜,则甲获胜的概率为QUOTE,那么这种嬉戏是不公允的,故错误.故说法正确的个数为0个.2.奥林匹克会旗中心有5个相互套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事务“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ()A.对立事务B.不行能事务C.互斥但不对立事务D.既不互斥又不对立事务【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事务是互斥事务;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事务不是必定事务,故这两个事务不是对立事务.3.已知小红的钱包中有2枚“壹分”,2枚“贰分”,3枚“伍分”的硬币,她随意地从钱包中取出2枚硬币视察其面值.这一试验的基本领件总数n等于 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选A.由题意知,基本领件有(1,1),(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(5,5),故6个.4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事务A={抽到一等品},事务B={抽到二等品},事务C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事务“抽到的是二等品或三等品”的概率为 ()A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3【解析】选D.由题意知,事务A、B、C互为互斥事务,记事务D=“抽到的是二等品或三等品”,则P(D)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3.5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷56粒,则这批米内夹谷约为 ()A.1365石 B.336石 C.168石 D.134石【解析】选B.设这批米内夹谷约为x石,则依据题意得到QUOTE=QUOTE⇒x=336.6.甲、乙两人参与“社会主义价值观”学问竞赛,甲、乙两人获得一等奖的概率分别为QUOTE和QUOTE,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.依据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,其次次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则全部数对(x,y)中满意xy=4的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意可知,两次摸球得到的全部数对(x,y)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2)(4,3),(4,4),共16个,其中满意xy=4的数对有(1,4),(2,2),(4,1),共3个.故所求事务的概率为QUOTE.8.袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套3只,白色手套2只.现从中随机地取出2只手套,假如2只是同色手套则甲获胜,2只手套颜色不同则乙获胜.则甲、乙获胜的机会是 ()A.一样大 B.甲大C.乙大 D.不能确定【解析】选C.乙获胜的概率为QUOTE,甲获胜的概率为QUOTE,乙获胜的概率大于甲获胜的概率.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列事务中,是随机事务的为 ()A.在学校校庆的田径运动会上,学生张涛获得1000米跑冠军B.在明天下午体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,为5号签D.在标准大气压下,水在0℃时结冰【解析】选AB.C是不行能事务,D是必定事务,AB是随机事务.10.由阅历得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表:排队人数012345人及以上概率0.110.160.30.290.10.04则 ()A.有1人或2人排队的概率为0.19B.有大于4人排队的概率为0.04C.有5人以下排队的概率是0.96D.至多有2人排队的概率为0.29【解析】选BC.记“没有人排队”为事务A,“1人排队”为事务B,“2人排队”为事务C,“5人及以上排队”为事务D.A、B、C、D彼此互斥,故有1人或2人排队的概率为P(B∪C)=0.16+0.3=0.46;有大于4人排队的概率为P(D)=0.04;有5人以下排队的概率是P(QUOTE)=1-0.04=0.96;至多有2人排队的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.11+0.16+0.3=0.57.11.某种植园在芒果接近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单位:克)中,经统计频率分布直方图如图所示.某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购方案:方案①:全部芒果以9元/千克收购;方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.则 ()A.抽取的100个芒果质量的平均数为251B.若按分层随机抽样从质量为[200,250),[250,300)的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,则这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为QUOTEC.种植园选择方案①获利更多D.种植园选择方案②获利更多【解析】选BD.由频率分布直方图知,这组数据的平均数QUOTE≈0.07×125+0.15×175+0.20×225+0.30×275+0.25×325+0.03×375=255,A错.利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果,则质量在[200,250)内的芒果有2个,记为a1,a2,质量在[250,300)内的芒果有3个,记为b1,b2,b3;从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同状况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).记事务A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”,则A有4个样本点:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),从而P(A)=QUOTE=QUOTE,B正确.方案①收入:y1=QUOTE×10000×9=QUOTE×10000×9=22950(元);方案②:低于250克的芒果收入为(0.07+0.15+0.2)×10000×2=8400(元);不低于250克的芒果收入为(0.25+0.3+0.03)×10000×3=17400(元);故方案②的收入为y2=8400+17400=25800(元).由于22950<25800,所以选择方案②获利多,C错D对.12.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).则 ()A.全部的数对(a,b)共有30种可能B.函数y=f(x)有零点的概率为QUOTEC.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的数对(a,b)共有13个D.函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为QUOTE【解析】选BC.(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种状况.函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种状况满意条件.所以函数y=f(x)有零点的概率为QUOTE=QUOTE.因为a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=QUOTE,在区间[1,+∞)上单调递增,所以有QUOTE≤1,满意条件的(a,b)为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种.所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为QUOTE.三、填空题(每小题5分,共20分)13.在集合QUOTE中任取一个元素,所取元素恰好满意方程cosx=QUOTE的概率是.

【解析】基本领件总数为10,满意方程cosx=QUOTE的基本领件数为3,故所求概率P=QUOTE.答案:QUOTE14.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“QUOTE不是整数”的概率为,“QUOTE是整数”的概率为.

【解析】因为在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,所以基本领件总数n=4×3=12.“QUOTE不是整数”包含的基本领件有QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共8个,所以“QUOTE不是整数”的概率为QUOTE=QUOTE.“QUOTE是整数”与“QUOTE不是整数”是对立事务,其概率为1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE15.为了调查新疆阿克苏野生动物爱护区内鹅喉羚的数量,调查人员逮到这种动物400只,标记后放回.一个月后,调查人员再次逮到该种动物800只,其中有标记的有2只,估算该爱护区有鹅喉羚只.

【解析】设爱护区内有鹅喉羚x只,每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的,所以QUOTE=QUOTE,解得x=160000.答案:16000016.甲、乙两位同学玩嬉戏,对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各掷一枚匀称的硬币,假如出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去6;假如出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把a1除以2后再加上6,这样就可得到一个新的实数a2,对实数a2仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数a3,当a3>a1时,甲获胜,否则乙获胜,若甲胜的概率为QUOTE,则a1的取值范围是.

【解析】由题意可知,进行两次操作后,可得如下状况:当a3=2(2a1-6)-6=4a1-18时,其出现的概率为QUOTE=QUOTE,当a3=QUOTE(2a1-6)+6=a1+3时,其出现的概率为QUOTE=QUOTE,当a3=2QUOTE-6=a1+6时,其出现的概率为QUOTE=QUOTE,当a3=QUOTE+6=QUOTE+9时,其出现的概率为QUOTE=QUOTE,因为甲获胜的概率为QUOTE,即a3>a1的概率为QUOTE,则满意QUOTE或QUOTE整理得a1≤6或a1≥12.答案:(-∞,6]∪[12,+∞)四、解答题(共70分)17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如表:抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率QUOTE(1)计算表中次品的频率.(2)从这批U盘中随意抽取一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够刚好更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02旁边摇摆,所以从这批U盘中随意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设须要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2000,因为x是正整数,所以x≥2041,即至少需进货2041个U盘.18.(12分)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球,从中随意摸出2个球.(1)共有多少个不同的基本领件,这样的基本领件是否为等可能的?该试验是古典概型吗?(2)摸出的两个球都是黑球记为事务A,问事务A包含几个基本领件?(3)计算事务A的概率.【解析】(1)随意摸出两球,共有{白球和黑球1},{白球和黑球2},{白球和黑球3},{黑球1和黑球2},{黑球1和黑球3},{黑求2和黑球3}6个基本领件.因为4个球的大小相同,所以摸出每个球是等可能的,故6个基本领件都是等可能事务.由古典概型定义知,这个试验是古典概型.(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本领件.即事务A包含3个基本领件.(3)因为试验中基本领件总数n=6,而事务A包含的基本领件数m=3.所以P(A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.19.(12分)计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分,每部分考试成果只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为QUOTE,QUOTE,QUOTE,在实际操作考试中“合格”的概率依次为QUOTE,QUOTE,QUOTE,全部考试是否合格相互之间没有影响.(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,则谁获得“合格证书”的可能性大?(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后,恰有两人获得“合格证书”的概率.【解析】(1)记“甲获得′合格证书′”为事务A,“乙获得′合格证书′”为事务B,“丙获得′合格证书′”为事务C,则P(A)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(C)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,从而P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得“合格证书”的可能性大.(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后,恰有两人获得′合格证书′”为事务D,则P(D)=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.20.(12分)受轿车在保修期内的修理费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆,统计在保修期内首次出现故障的车辆数据如表:品牌甲乙首次出现故障的时间x/年0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11<x≤2x>2轿车数量/辆213442345(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)设A,B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年,第2年和第3年之内,设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内,因为A,B,C是彼此互斥的,其概率分别为P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE,即首次出现故障发生在保修期内的概率为QUOTE.(2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为QUOTE=QUOTE.21.(12分)(2024·北京高考)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简洁随机抽样,获得数据如表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人300人400人100人方案二350人150人250人250人假设全部学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案二的概率的估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)【解析】(1)样本中,男生支持方案一的频率为QUOTE=QUOTE,女生支持方案一的频率为QUOTE=QUOTE,用样本估计总体,用频率估计概率,所以估计该校男生支持方案一的概率为QUOTE,女生支持方案一的概率为QUOTE.(2)记事务Ai(i=1,2)为抽取的第i个男生支持,事务B为抽取的女生支持,则P(Ai)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所求概率p=P(A1A2QUOTE+A1QUOTEB+QUOTEA2B)=P(A1A2QUOTE)+P(A1QUOTEB)+P(QUOTEA2B)=QUOTE×QUOTE×(1-QUOTE)+QUOTE×(1-QUOTE)×QUOTE+(1-QUOTE)×QUOTE×QUOTE=QUOTE;(3)p0=QUOTE=