2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二学案含解析新人教A版必修4

PAGE1．2.1随意角的三角函数(二)内容标准学科素养1.驾驭正弦、余弦、正切函数的定义域．2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3.能利用三角函数线解决一些简洁的三角函数问题.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第10页[基础相识]学问点三角函数线阅读教材P15～17，思索并完成以下问题在平面直角坐标系中，随意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sinα，cosα，tanα与MP，OM，AT的关系吗？当α的终边不在坐标轴上时(1)以M为起点，P为终点，规定当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正方向且表示正值，当MP与y轴反向时，MP的方向为负方向且表示负值，那么，sinα可否用线段MP表示？提示：MP＝y＝sinα.(2)假如以O为起点，M为终点，规定OM方向与x轴同向时，表示正值，OM方向与x轴方向反向时，表示负值，那么，cosα与OM有什么关系？提示：OM＝x＝cosα.(3)假如以A为起点，T为终点，AT方向与y轴方向相同时表示正值，AT方向与y轴方向相反时表示负值，那么tanα与AT有什么关系？提示：tanα＝AT＝eq\f(y,x).学问梳理如图为角α的三种三角函数，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线．思索有向线段MP与线段MP有什么不同？提示：有向线段MP就是由M指向P，规定了起点和终点，有方向．线段MP只是两点M、P间的线段，无方向．[自我检测]1．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案：C2．当x∈[0，2π]时，不等式sinx≥eq\f(1,2)的解集为______．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(5,6)π))))授课提示：对应学生用书第11页探究一三角函数线及其作法[例1]分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－eq\f(3π,4)；(2)eq\f(11π,6).[解析]正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.方法技巧三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为其次或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.跟踪探究(1)作出－eq\f(π,3)的正弦线；(2)作出eq\f(4π,3)的正切线．解析：(1)作出－eq\f(π,3)的正弦线MP，如图所示．(2)作出eq\f(4,3)π的正切线AT如图所示．探究二利用函数线比较大小[教材P69第11题]比较大小：sin378°21′，tan1111°.解析：sin378°21′＝sin18°21′tan1111°＝tan31°，tan31°>sin31°>sin18°21′，故tan1111°>sin378°21′.[例2]利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sineq\f(2π,3)与sineq\f(4π,5)；(2)taneq\f(2π,3)与taneq\f(4π,5).[解析]如图所示，角eq\f(2π,3)的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sineq\f(2π,3)＝MP，taneq\f(2π,3)＝AT；eq\f(4π,5)的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sineq\f(4π,5)＝M′P′，taneq\f(4π,5)＝AT′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以(1)sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，(2)taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).方法技巧利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．延长探究1.本例改为比较coseq\f(2,3)π和coseq\f(4,5)π的大小．解析：由例题解析图可知，coseq\f(2,3)π＝OM，coseq\f(4,5)π＝OM′.且|OM|<|OM′|，又OM<0，OM′<0，∴OM′<OM，∴coseq\f(2,3)π>coseq\f(4,5)π.探究三利用三角函数线解不等式(组)角度1利用三角函数线解不等式[例3]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)tanα≥－1.[解析](1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满意条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2,3)π，k∈Z)))).(2)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤α<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).角度2利用三角函数线求三角函数定义域[例4]求函数y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))＋eq\r(1－2cosx)的定义域．[解析]由题意知，自变量x应满意不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)，,sinx>\f(\r(2),2).))则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).角度3利用三角函数线证明三角不等式[例5]若0<α<eq\f(π,2)，证明：sinα<α<tanα.[证明]如图所示，在单位圆中画出三角函数线，连接AP，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)leq\o(AP,\s\up8(︵))·OA<eq\f(1,2)OA·AT，即MP<leq\o(AP,\s\up8(︵))<AT，∴sinα<α<tanα.方法技巧1.利用三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后依据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满意条件的终边范围．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再留意角的范围的写法要求．2．求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特殊留意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．延长探究2.将本例3变为：解不等式cosα≤－eq\f(1,2).解析：作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满意条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).3．将本例4变为：求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域．解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).如图，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)，即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，∴函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．授课提示：对应学生用书第12页[课后小结]1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的肯定值，方向表示三角函数值的正负．详细地说，正弦线、正切线的方向同y轴一样，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一样，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题供应了便利．2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.留意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写依次不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面相识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的改变规律、诱导公式一的理解更简洁了．4．当α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时α的正弦值、正切值为0，余弦值为±1.当α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，α的余弦值为0，正切值不存在，正弦值为±1.[素养培优]1．比较三角函数大小，忽视三角函数线的方向[典例]用三角函数线比较cos1255°与cos1600°的大小．易错分析此题易错有两点，一是不将角度化为0°～360°，使角的象限找错；二是不考虑余弦线的方向，而只看线段长度．自我订正[解析]cos1255°＝cos(3×360°＋175°)＝cos175°，cos1600°＝cos(4×360°＋160°)＝cos160°.如图，作175°、160°的余弦线OM1、OM2，∴OM1<OM2，∴cos175°<cos160°，即cos1255°<cos1600°.2．利用函数线求角的区域、角的方向转错[典例]已知－eq\f(1,2)≤cosθ<eq\f(\r(3),2)，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．易错分析此题易错有三点，一是把角的终边方向转错，使角区域求错，错写为－eq\f(π,6)<θ<eq\f(π,6)或eq\f(2,3)π<θ<－eq\f(2,3)π；二是角的终边不分虚实；三是丢掉2kπ.自我订正[解析]如图，在坐标中作出eq\f(π,6)，