《数学（下册）（第二版）》 课件 第1、2章　函数与极限、导数与微分

函数与极限第1章1目录１.１函数的概念１.２初等函数１.３函数的极限１.４函数极限的运算法则１.５函数的连续性2教学要求：1.理解函数的概念和性质；了解反函数的概念，并认识反三角函数．2.掌握基本初等函数的定义，熟悉它们的图像和性质．3.理解复合函数与初等函数的定义，会进行复合函数的分解．4.了解数列极限的含义；理解函数极限的概念，了解函数左、右极限的概念及其简单的计算．35.了解无穷小与无穷大的概念，会用无穷小的性质求极限，知道一些等价无穷小，会用等价无穷小代换求极限．6.掌握极限的四则运算法则；掌握用两个重要极限求函数极限的方法．7.理解函数连续的定义和初等函数连续性的概念，会求一些简单的函数的间断点；熟悉闭区间上连续函数的性质．41.1函数的概念5集合集合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集）．集合中的每个对象都称为这个集合的元素，集合可以用列举法或描述法来表示．通常用大写英文字母A，B，C等表示集合，用小写英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．6实例考察中自变量的取值范围是在实数范围内的数的集合，简称数集，一些常用的数集及其记法如下表：7区间对于数集，还有一种更为简单的表示方法———区间．设a，b都是实数，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”．“－∞”和“＋∞”不是数，仅仅是记号，“－∞”表示区间的左端点可以无限地减小，“＋∞”表示区间的右端点可以无限地增大．邻域邻域也是常用到的一个集合概念．设a与δ是两个实数，且δ＞０，开区间（a－δ，a＋δ）称为a的δ邻域，记作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）称为a的去心δ邻域，记作

（a，δ）．10函数的概念函数的定义在某一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x在某个非空的实数集D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与x对应，那么我们就说y是x的函数，记作y＝f（x），x∈D．其中，x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围D称为函数的定义域，与x的值相对应的y的值称为函数值．当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合{f（x）丨x∈D}称为函数的值域．11由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等．函数的定义域的确定通常有以下两种情形：对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定定义域；对抽象的算式表达的函数，约定定义域是使得函数表达式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．12函数的表示法解析法（公式法）用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．列表法用表格来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．图像法在平面内用图像来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．反函数在函数关系中，自变量与因变量是相对的．例如，对于函数y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，则x就成为y的函数．13设函数y＝f（x），定义域为D，值域为M，如果对于M中的每一个y值（y∈M），都可以从关系式y＝f（x）确定唯一的x值（x∈D）与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数x＝f－1（y）就称为函数y＝f（x）的反函数，它的定义域为M，值域为D．由此定义可知，函数y＝f（x）也是函数x＝f－1（y）的反函数，即它们互为反函数．习惯上，函数的自变量用x表示，因变量用y表示，所以把函数y＝f（x），x∈D的反函数记为y＝f－1（x），x∈M．函数y＝f（x）的图像与其反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．14反三角函数正弦函数y＝sinx，x∈R是没有反函数的，但是在正弦函数y＝sinx的一个单调区间

上，对于y在[－1，1]上每一个值，x在

上都有唯一的值和它对应，因此，函数y＝sinx，

x∈有反函数．函数y＝sinx，x∈的反函数称为反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域为[－1，1]，值域为．类似地，函数y＝cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域为[－1，1]，值域为[0，π]．函数y＝tanx，x∈的反函数称为反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域为R，值域为．函数y＝cotx，x∈（0，π）的反函数称为反余切函数，记作y＝arccotx，它的定义域为R，值域为（0，π）．反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数统称为反三角函数．15函数的基本性质奇偶性设函数y＝f（x），x∈D，定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数；如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），则称y＝f（x）为奇函数．不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数．几何特征：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．1617周期性设函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），则称y＝f（x）为周期函数，T称为这个函数的周期．对于每个周期函数来说，周期有无穷多个．如果其中存在一个最小正数，则规定这个最小正数为该周期函数的最小正周期，简称周期．我们常说的某个函数的周期通常指的就是它的最小正周期．几何特征：以T为周期的周期函数的图像在定义域内每隔长度为T的区间上形状相同．18单调性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．如果函数y＝f（x）在区间I上随着x的增大而增大，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递增；如果函数f（x）在区间I上随着x的增大而减小，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递减．区间I称为y＝f（x）的单调区间．几何特征：单调递增区间上的图像沿横轴正向上升，单调递减区间上的图像沿横轴正向下降．特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增（或单调递减）时，就称f（x）是增函数（或减函数）．1920有界性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．若存在一个正数M，对于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，否则，称f（x）在区间I上无界．几何特征：有界函数的图像全部夹在直线y＝M与y＝－M之间．211.2初等函数22基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．为了便于同学们复习，现将常见基本初等函数的定义域、值域、图像和性质列表如下：2324252627282930复合函数我们先来看一个例子．设y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函数y＝（3－2x）5．这个函数就是由y＝u5与u＝3－2x复合而成的复合函数．31复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，即可以由两个以上的函数进行复合，只要它们依次满足能够复合的条件．另外，对于复合函数，我们要弄清两个问题，那就是“复合”和“分解”．所谓“复合”，就是把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，该过程就是把中间变量依次代入的过程；所谓“分解”，就是把一个复合函数分解为几个简单的函数，而这些简单的函数往往都是基本初等函数或是由基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数．32初等函数例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，如符号函数就不是初等函数．绝对值函数y＝丨x

丨虽然是分段函数，但由于

，所以它仍是初等函数．本教材所讨论的函数绝大多数都是初等函数．331.3函数的极限34数列的极限根据定义，“割圆术”中圆面积A＝35有些数列的极限是不存在的，例如：（1）数列{n2}，当n→∞时，n2也无限增大，不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限不存在，为方便起见，这时可以记作（2）数列{（－1）n}，当n→∞时，（－1）n在两个数1与－1上来回跳动，也不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限也是不存在的．36函数的极限当x→∞时，函数f（x）的极限前面我们讨论了数列的极限．数列{an}可看作自变量为n的函数an＝f（n），n∈N∗．因此，数列的极限

＝a，又可以写成也就是说，当自变量n取正整数且无限增大时，对应的函数值f（n）无限接近于一个确定的常数a．对于一般的函数f（x），当它的自变量x的绝对值无限增大时，我们可以类似地定义．37值得注意的是，上述定义中“x→∞”表示x既可取正值而趋于无穷（记作x→＋∞），也可取负值而趋于无穷（记作x→－∞）．但有时所讨论的x值，只能或只需取正值（或负值）趋于无穷，此时我们可以类似地给出如下定义．38由上述极限的定义，可得结论：

＝A的充分必要条件是39当x→x0时，函数f（x）的极限40值得注意的是，上述定义中“x→x0”表示x可以以任意方式趋近于x0，但有时所讨论的x值，只能或只需从x0的左侧趋近于x0（记作x→x0－）或从x0的右侧趋近于x0（记作x→x0＋），此时我们可以类似地给出如下定义．41由上述极限的定义，可得结论：

的充分必要条件是无穷小与无穷大无穷小注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，任何一个很小常数都不是无穷小．（2）常数中只有零可以看作无穷小．（3）不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出自变量的变化过程．因为无穷小是用极限来定义的，在自变量的某个变化过程中的无穷小，在另一个变化过程中则不一定是无穷小．42函数极限与无穷小的关系一般地，函数、函数极限与无穷小三者之间具有如下的关系．43无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质．性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．性质3无穷小与有界函数的乘积为无穷小．推论常数与无穷小的乘积为无穷小．44无穷大当x→x0（或x→∞）时的无穷大的函数f（x），按函数极限的定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一特征，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记作45如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）大于零且无限增大，这时可记作如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）小于零但绝对值无限增大，这时可记作注意：（1）无穷大是变量，任何一个绝对值很大的常数都不是无穷大．（2）说一个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化过程．46无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果函数f（x）为无穷大，则函数

为无穷小；反之，如果函数f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则函数

为无穷大．471.4函数极限的运算法则48函数极限的四则运算法则在下面的讨论中，求极限的过程中自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中的自变量的趋向相同即可．以上法则都可以利用函数极限与无穷小的关系来证明．49证明由函数极限与无穷小的关系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自变量在同一变化过程中的无穷小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由无穷小的性质可知，Aβ＋Bα＋αβ也是无穷小．再根据函数极限与无穷小的关系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推论若limf（x）＝A，C为常数，n为正整数，则（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有当运算中所涉及的函数极限都存在，且分母的极限不为零时，才能用极限的四则运算法则求极限，否则法则不能使用．51复合函数的极限运算法则前面已经得到，对于多项式函数和有理分式函数f（x），只要f（x0）存在，函数f（x）当x→x0时的极限，等于该函数在x0处的函数值f（x0）．事实上，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处同样具有这样的性质，即如果f（x）是基本初等函数，定义域为D，x0∈D，则52类下面给出一个复合函数的极限运算法则．53两个重要极限第一个重要极限

考察当x→0时，函数

的变化趋势如下表．由表我们可以看出，当x→0时，

无限接近于常数1，即54注意：（1）第一个重要极限是

型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，

中的两个φ（x）是同一个无穷小．（3）第一个重要极限也可以写成55第二个重要极限考察当x→∞时，函数

的变化趋势如下表．56由表可以看出，当x→－∞或x→＋∞时，函数的值越来越接近一个确定的常数2.71828···．这个确定的常数用e来表示，即在上式中令t＝，则x→∞时，t→0，于是上式可变成

＝e，即注意：（1）第二个重要极限是1∞型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，中的两个φ（x）是同一个无穷小．57无穷小的比较在无穷小的性质中，我们已经知道两个无穷小的和、差、积仍然为无穷小，那么两个无穷小的商是否为无穷小呢?答案是不定．例如，当x→0时，x2，2x，3x，sinx都是无穷小，而两个无穷小的商的各种极限情况，反映了分子、分母的无穷小趋于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子来说，在x→0的过程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0与2x→0“快慢相仿”，而sinx→0与x→0“快慢一致”．58为了对无穷小趋于零的快慢有一个定性的描述，我们给出“无穷小的阶”的概念．59由定义可知，当x→0时，x2是比2x高阶的无穷小；3x是比x2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小，而sinx与x是等价无穷小．前面我们已经求出，当x→0时，60所以，当x→0时，有下列常用的等价无穷小．sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，对于等价无穷小，有下列性质．定理当x→x0时，α~α′，β~β′，且存在，则这个定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可以用等价无穷小来代替，这样可以使计算简化，但当分子或分母是若干项无穷小的和或差时，则一般不能对其中某一项无穷小作等价代换．611.5函数的连续性62函数连续性的概念函数的增量设x0是一个定点，当自变量从初值x0变化到终值x时，我们称自变量终值与初值的差x－x0为自变量的增量（或自变量的改变量），记作Δx，即Δx＝x－x0，从而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自变量的终值．63设函数y＝f（x）在点x0

的某邻域内有定义，当自变量从x0

变化到x0

＋Δx时，即自变量x在x0

处有增量Δx时，函数y＝f（x）的值相应地从f（x0

）变到f（x0

＋Δx）也产生了一个改变量，我们把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）称为函数y＝f（x）在点x0

处的增量．64函数在一点处的连续性在几何上，函数的增量表示当自变量从x0变化到x0＋Δx时，曲线上对应点的纵坐标的增量．65函数在点x0

处连续，在几何上表示为函数图像在x0

附近为一条连续不断的曲线．从上图可以看出，当自变量的增量Δx趋近于0时，函数的增量Δy也趋近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函数y＝f（x）在点x0

处连续的定义也可叙述如下．67函数在区间上的连续性如果函数f（x）在点x0

处有则称函数y＝f（x）在点x0

左连续（或右连续）．如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点处均连续，则称函数f（x）在开区间（a，b）内连续，区间（a，b）称为函数f（x）的连续区间．如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，即则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续．在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线．基本初等函数在其定义域内是连续的．68函数的间断点由函数f（x）在点x0处连续必须满足的三个条件可知，当函数f（x）出现下列三种情形之一时，x0就为函数y＝f（x）的间断点．（1）f（x0）不存在，即函数f（x）在点x0处无定义；（2）f（x0）存在，但

不存在；（3）f（x0）存在，且

也存在，但

6970初等函数的连续性根据函数在一点的连续的定义和函数极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论．定理1（连续函数的四则运算法则）如果函数f（x）和g（x）在点x0处连续，则它们的和、差、积、商（分母在x0处不等于零）也都在x0处连续，即71定理2（复合函数的连续性）如果函数u＝φ（x）在点x0连续，且φ（x0）＝u0，而函数y＝f（u）在点x0连续，则复合函数y＝f（φ（x））在点x0也连续．由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则及复合函数的连续性可得到以下结论．定理3一切初等函数在其定义域内都是连续的．72闭区间上连续函数的性质在闭区间上的连续函数具有一些重要的特性，下面将不加证明直接予以介绍．定理4（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则函数f（x）在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．73定理5（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上能取得介于最大值和最小值之间的任何数．推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）＝0．推论的几何意义是：如果闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在端点处的函数值异号，则函数f（x）的图像与x轴至少有一个交点．74导数与微分第2章75目录2.1导数的概念2.2导数的运算法则2.3微分及应用76教学要求：1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义；知道函数可导与连续的关系.3.会利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数.4.掌握复合函数的求导法，会求复合函数的导数.5.掌握隐函数求导的方法，了解参数方程的求导法.6.了解高阶导数的定义和二阶导数的力学意义，会求函数的二阶导数.7.了解微分的定义及几何意义，会求函数的微分，能利用微分解决一些简单的近似计算问题.771.1导数的概念78导数的概念函数在某一点处的导数设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量Δx时，函数y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果极限存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y＝f（x）在点x0

处的导数，记作f′（x0）或

或

，即79如果上述极限不存在，则称函数y＝f（x）在点x0

处不可导．函数增量与自变量增量之比

是函数在Δx区间上的平均变化率，而导数f′（x0）则是函数y＝f（x）在点x0处的瞬时变化率，它反映了函数y＝f（x）在点x0处变化的快慢程度．根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：（1）变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，就是位移s＝s（t）在t0

处对时间t的导数，即80（2）在直角坐标系中，曲线y＝f（x）在点A（x0，y0）处的切线斜率，就是纵坐标y＝f（x）在点x0处对横坐标x的导数，即函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）也可表示为81函数在某一点处的左、右导数若比值

在点x0处的左极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处左导数，记为f′－（x0）．若比值在点x0处的右极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处右导数，记为f′＋（x0

）．函数y＝f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在该点的左、右导数都存在且相等．82函数的导数如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数y＝f（x）在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都对应着唯一确定的函数值f′（x），于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数y＝f（x）的导函数，简称导数，记作f′（x）或y′或

，且显然，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导数f′（x）在点x＝x0处的函数值，即83导数的几何意义由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）在几何上表示曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84过切点A（x0，f（x0））且垂直于切线的直线称为曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的法线．如果f′（x0）存在，则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法线方程为85可导与连续的关系定理如果函数y＝f（x）在点x0处可导，则函数y＝f（x）在点x0处连续．证明函数y＝f（x）在点x0处可导，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函数y＝f（x）在点x0处连续．值得注意的是，即使函数y＝f（x）在点x0处连续，函数y＝f（x）在点x0处也不一定可导．862.2导数的运算法则87函数的和、差、积、商的求导法则设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导．下面我们来考察它们的和y＝u（x）＋v（x）在点x处的导数．当自变量在x处有增量Δx时，函数u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．因为Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导，即因此，有y′＝u′＋v′，这表明函数y＝u（x）＋v（x）在点x处也可导，即（u＋v）′＝u′＋v′．实际上，我们也可推出它们的差、积、商（当分母不等于0时）在点x处可导．8990复合函数的求导法则利用函数的四则运算的求导法则和基本初等函数的导数公式，可以来求一些简单的函数的导数，对于复合函数的求导问题，我们有如下重要的求导法则．91复合函数求导的关键在于首先把复合函数分解成初等函数，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算．注意求导之后应该把引入的中间变量代换成原来的自变量．对复合函数分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，只要明确中间变量所对应的函数表达式，运用复合函数的求导法则，逐层求导．复合函数求导法可推广到两个以上中间变量的情形．92三个求导方法隐函数求导法我们此前遇到的函数都是用y＝f（x）这样的形式来表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，这种方式表示的函数称为显函数．但有些函数不是以显函数的形式出现的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，这些二元方程也可以表示一个函数，这样的函数叫作隐函数．求隐函数的导数，并不需要先把隐函数化为显函数（事实上，有些隐函数是不能显函数化的），而是可以利用复合函数的求导法则，将二元方程的两边同时对x求导，并注意到y是x的函数，就可直接求出隐函数的导数y′．93至此，我们已经把基本初等函数的导数公式全部推导出，为了方便查阅，汇总如下．94对数求导法在求导运算中，常会遇到这样两类函数的求导问题，一是幂指函数y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数．对这样的函数，可先对等式两边取自然对数，把函数变成隐函数的形式，然后利用隐函数求导法求出结果．95参数方程求导法在平面解析几何中，我们学过参数方程，它的一般形式为一般地，上述方程组确定的y与x之间的函数关系称为由参数方程所确定的函数y＝f（x）．例如，已经学过的一种椭圆的参数方程就确定了y与x之间的函数关系，这个函数通过参数t联系起来．96现在来求由参数方程（t为参数，t∈I）所确定的函数y对x的导数，直接消去t有时会很难，事实上，根据复合函数求导法则可知97高阶导数设物体做变速直线运动，它的位移函数为s＝s（t），则它的瞬时速度为v＝s′（t）．此时，若速度v仍是时间的函数，我们可以求速度v＝v（t）对时间t的导数（即速度对时间的变化率），得到物体的瞬时加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函数的导数的导数．这种导数的导数称为s＝s（t）对时间t的二阶导数．98类似地，如果函数y＝f（x）的二阶导数y″的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的三阶导数，记作y

‴或f

‴（x）或一般地，如果函数y＝f（x）的n－1阶导数的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的n阶导数，记作y（n）或f（n）（x）或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，称y′＝f′（x）为一阶导数．992.３微分及应用100微分的概念函数的微分的定义设函数y＝f（x）在点x处可导，则f′（x）＝，由无穷小与函数极限的关系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，当f′（x）≠0时，函数的增量可以分成两部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的线性函数，我们把它称为Δy的线性主部；另一部分是αΔx，当Δx→0时，它是比Δx高阶的无穷小．所以当Δx很小时，可以忽略不计，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我们给出下面的定义．通常把自变量的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，因此，函数y＝f（x）的微分又可记为dy＝f

′（x）dx．102从而有上式表明，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于函数的导数，因此导数又叫作微商．在前面我们把

当作一个整体的记号，现在有了微分的概念，

就可以看作是一个分式．从微分的定义可以看出可导与微分之间存在联系，一元函数在某点处可导等价于在某点处可微，把可导函数也称为可微函数．103微分的几何意义设函数y＝f（x）的图像如图所示，过曲线y＝f（x）上一点M（x，y）作切线MT，设MT的倾斜角为α，由导数的几何意义tanα＝f′（x）．当自变量x有增量Δx时，切线MT的纵坐标相应也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，