黄金卷05-2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第五模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·江西高三期中（理））若集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为,，所以，故选：C2．（2020·湖南高三开学考试）设复数，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选：C.3．（2020·全国高三其他模拟（文））设，，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解:选项A:易知，，所以A正确；选项B:因为，即，又，所以，B正确；选项C:又，，所以，从而，C错误；选项D:又，可知D正确.综上，A，B，D正确，C错误.故选:C4．（2020·江苏海安市·高三期中）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BD，又，，所以即在时不是单调递增，排除C．故选：A．5．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（）A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时【答案】B【详解】由已知时，，故，解得；污染物减少27%，即，由，所以，则.故选：B.6．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵∵函数f(x)在上取得极大值，在上取得极小值，，即，在直角坐标系aOb中画出不等式组所表示的区域如图所示：这是由为顶点的三角形及其内部区域，可看作区域上点与点的连线的斜率，结合图形可知故选：D7．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知，即，在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得即，整理得易得面积又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，所以由已知，得，则，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得两边同除以，则，解得或（舍去）故选：C.8．（2020·江西宜春市·高一期末）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，所以，记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，所以，作出可行域以及目标区域如图所示：由几何概型的概率计算可知：.故选：D.多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·江苏高三月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为【答案】ABC【详解】A.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球都是红球的概率为，故正确；B.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球中恰有1个红球的概率为，故正确；C.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以至少有1个红球的概率为，故正确；D.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球不都是红球的概率为，故错误；故选：ABC10．（2020·吕叔湘中学高三月考）关于函数，有下述三个结论正确的有（）A．f(x)的一个周期为； B．f(x)在上单调递增；C．.的值域与f(x)相同 D．f(x)的值域为【答案】BCD【详解】A.，错误；B.当时，，所以，单调递增区间为，得，当时，，正确；C.把函数的图象向右移动单位得到，又它们的定义域都为，所以它们的值域相同，正确；D．由C知函数与的值域相同，，所以时，，所以正确.故选：BCD.11．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于选项A：因为幂函数在单调递增，，所以因为指数函数在上单调递减，所以，所以，故选项A不正确；对于选项B：因为，，所以，所以，即，故选项B正确；对于选项C：令，则所以在上递减，所以，即，故选项C正确；对于选项D：令，则，所以在上递增，在上递减，而,所以，即，所以，即，所以，故选项D正确，综上正确答案为BCD.故选：BCD12．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【详解】A选项，，A正确；B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，因为，所以，所以，B正确；C选项，因为，所以，C错误；D选项，令，，所以在单调递增，所以，所以，则，所以，即，所以，所以D错误.故选：AB.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·江西高三期中（理））平面向量与的夹角为，且，，则________.【答案】【详解】∵向量与的夹角为，，，∴，则，故答案为：．14．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）【答案】100【详解】由题意知，五年累计总投入资金为，当且仅当时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.15．（2020·永安市第一中学高二期中）已知三棱锥内接于球O，且，，，若三棱锥的体积为4，又AC过球心O，则球O的表面积最小值是_______.【答案】【详解】由题意，因为过球心，所以为球的直径，可得，因为，，且，所以平面，所以，设，，因为，，可得所以，所以，即，在中，可得，在直角中，可得，整理得，即，联立方程组，可得，又由，当且仅当时，即等号成立，所以，即，所以最小值为，所以外接球的表面积的最小值为.16．（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．【答案】18【详解】由于点满足，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1).1(2).8四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·江西高三期中（文））设函数.（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且，求的值.【答案】（1）函数的最大值为，最小正周期为；（2）.【详解】（1），所以，，函数的最小正周期为；（2），，由正弦定理可得，所以，.18．（2020·天津滨海新区·大港一中高三期中）已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；；（2）.【详解】（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，，，对于数列：当时，，当时，，当时，也满足上式，，.（2）由题意及（1），可知：当为奇数时，，当为偶数时，，令，，则，，，两式相减，可得，，，，，.19．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．（1）求证：；（2）求三棱柱的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）如图所示：连接，∵，∴侧面是菱形，∴，∵侧面底面，且平面平面，，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴；（2）如上图：设棱的中点为，连，，则，∴底面．从而，由，，得：，，∴，在中，由余弦定理得:，即，∴，由（1）知平面，∴，，又，∴三棱柱的侧面积为．20．（2020·广西高三一模（理））某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.（1）求校优秀的概率（保留位小数）；（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.【答案】（1）；（2）分布列见解析，校得分的数学期望为；（3）答案见解析.【详解】（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，则；（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：随机变量的数学期望为，因此，校得分的数学期望为；（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.21．（2020·全国高三其他模拟（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）设，由题意知：，，，，解得：，椭圆的标准方程为；（2）根据题意，设，，直线，由，消去并整理得：，则，即，，，，，又，由，得：，解得：，，，故.22．（2020·河南