趋势3考查开放探究精神

趋势3考查开放，探究精神一、单选题1．（2021·全国·高一专题练习）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）．A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【详解】集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．集合中有25个元素（即25个点），即下图中正方形内部及正方形边上的整点．所以或或或或或或，共7个值；所以或或或或或或，共7个值，所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．故选C.2．（2021·吉林·延边二中高二月考（理））若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，若函数具有“凹凸趋向性”时，则在有2个不同的实数根，令，，令，解得：，令，解得：，在上递减，在递增，故的最小值是当越趋近于0时，也越趋近于0，当趋近于正无穷大时，也趋近于正无穷大，所以的取值范围是.故选：B3．（2021·全国·高三专题练习（文））牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则A． B． C． D．【答案】D【详解】，，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，故选D项4．（2021·全国·高三专题练习）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数，，计算结果取整数)A．1089 B．1086 C．434 D．145【答案】B【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，则10000以内的素数的个数为===2500，故选B.5．（2021·全国·高一专题练习）在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，，时，，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C．6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中三模（文））已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于函数，对于函数，则此函数的“”区间满足：，即，∴故选：C二、填空题7．（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一月考）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则___________．【答案】.【详解】由于，，，，则，由题中定义可得，则，因此，，故答案为.8．（2021·重庆市两江中学校高二月考）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．【答案】【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极大值，，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题9．（2021·江苏如皋·高二月考）换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解过程可以是：设，，，则，所以当时取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.已知平面内两定点，，一动点P到两个定点的距离之和为4.（1）请利用上述求解方法，求出P点的轨迹方程；（2）求的最大值，并写出此时P点坐标.【答案】（1）（2），（1）设，由题意知，即，令，等式两边同时平方得……①，……②，①－②得，即……③，即代入①中得，整理可得，故P点的轨迹方程为；（2）则……④，由①得，结合③得，整理可得代入④得，而，，所以，由于椭圆得对称性，不妨设点在轴及轴的右侧时，由于所以解得令，则，而，所以，当时，函数单调递增，因此当时，有最小值，且最小值为，因此的最小值为，此时最大，最大值为，此时，即点在椭圆的上下顶点处，故P点坐标为，.10．（2021·全国·高二课时练习）函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定叫作曲线在点A，B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，求的取值范围．【答案】．【详解】因为，所以，，由题意可得，，又因为，所以，，所以，故，令，，则，由于，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围为．11．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点处被台风折断且形成120°角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（，，三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）（1）若，求折断前树的高度（结果保留一位小数）（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.【答案】（1）11.2米.（2）救援车不能从此处通过，理由见解析（1）解：在中，，，所以，由正弦定理，得.所以所以折断前树的高度11.2米；（2）如图，设的内接矩形的边在上且，设，因为，，所以，所以，所以，则因为，所以所以，所以因为，所以救援车不能从此处通过.12．（2021·全国·高三专题练习）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设函数单调递增，，．（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；（2）设，证明：对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在区间上的解”的充要条件是“为方程在区间上的解”，并证明：对任意都有．【答案】（1）验证见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】（1）易知函数的定义域为R，对任意，都有，所以，即是以为余弦周期的余弦周期函数．（2）由于的值域为R，所以对任意，c都是一个函数值，即有，使得．若，则由单调递增得，与矛盾，所以．同理可证，故存在使得．（3）若为在区间上的解，则，且，，即为方程在区间上的解．同理，若为方程在区间上的解，则为该方程在区间的解．以下证明最后一部分结论．由（2）所证可知，存在，使得，，1，2，3，4．而是函数的单调区间，，1，2，3，与之前类似可以证明：是在区间上的解，当且仅当是在区间上的解，从而在区间与区间上的解的个数相同，故，，1，2，3，4．对于，，，而，故．类似地，当，，2，3时，有．结论成立．13．（2021·江苏·高三专题练习）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．（1）已知函数是上的周期为的级递减周期函数，求实数的取值范围；（2）已知，是上级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．【答案】（1）；（2）；（3）存在满足题意，证明见解析．【详解】（1）由题意，函数是上的周期为的级递减周期函数可知，即对恒成立，也即对恒成立，在上单调递减，所以，，；（2）已知，是上级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，当时，，当时，则，，，在上单调递增，且，即；（3）由已知，应有对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，也即对一切实数恒成立，当时，，，，于是，，故要使恒成立，只有.①当时，即时，由于函数与的图象存在交点，故方程有解，此时恒成立，则，，；②当时，函数与函数的图象没有交点，所以，方程无解.综上，存在，符合题意，其中满足．14．（2021·全国·高三专题练习）如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2345所以的数学期望为：．15．（2020·江苏省盱眙中学高一月考）集合是由满足以下性质的函数组成：①在上是增函数；②对于任意的，．已知函数，．（1）试判断，是否属于集合，并说明理由；（2）将（1）中你认为属于集合的函数记为．①试用列举法表